四川省眉山市第一中学2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题 Word版含解析.docx

2023级高二上学期半期考试

数学试卷

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.直线的倾斜角是

A. B. C. D.不存在

【答案】C

【解析】

【详解】依题意有：直线方程为，故倾斜角为.

2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.

【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是.

故选：A

3.若如图中的直线的斜率分别为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.

【详解】设直线的倾斜角分别为，

则由图知，

所以，即．

故选：D.

4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A. B.

C.或 D.或

【答案】D

【解析】

【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可.

【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则

①，则直线过原点，则直线方程为：

②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为：

综上所述：该直线方程为或

故选：D

5.向量，若，且，则的值为（）

A.或1 B.1 C.3或 D.3或1

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量模长坐标表示求得，再由向量垂直的坐标表示求，即可得结果.

【详解】由，则，可得，

又，则，可得，

当，则；当，则；

所以的值为或1.

故选：A

6.如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（）

A.67 B.49 C.7 D.

【答案】C

【解析】

【分析】过A作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案．

【详解】过A作且，连接、，

则四边形是平行四边形，

因为，所以平行四边形是矩形，

因为，即，而，

则是二面角的平面角，即，

因为，即为正三角形，所以，

因为，，即，，，平面，

所以平面，因为平面，所以，

所以在中，，所以，．

故选：C．

7.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求解总的取值方法共有种方法，然后求解符合题意的取值方法共有7种，从而可求概率.

【详解】从中任取2个数：

共12种方法；

符合题意的共有：共有7种，

所以所取两个数符合费马小定理的概率为.

故选：A.

8.如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.

【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为2，则.

所以，又

所以.

故选：C.

二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．）

9.下列叙述错误的是（）

A.若事件发生的概率为，则

B.分层是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等

C.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些

D.对于任意两个事件和，都有

【答案】CD

【解析】

【分析】根据概率的性质、不放回抽样的性质，结合抽签法的性质、并事件的概率性质逐一判断即可.

【详解】A选项，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，A对，

B选项，根据系统抽样的定义得，分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，B对，

C选项，甲、乙、丙三位选手抽到概率是，C错，

D选项，对于任意两个事件和，，

只有当事件和是互斥事件时，才有，D错，

故选：CD.

10.下列说法中，正确的是（）

A.直线的一个方向向量为

B.，，三点共线

C.直线必过定点

D.经过点，倾斜角为的直线方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】求出直线的斜率可判断A；由可判断B；由题意可得出，即，解方程可判断C；时，直线的斜率不存在可判断D.

【详解】对于A，因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故A错误；

对于B，，，，

所以，故B正确；

对于C，由可得：，

则，解得：