6.3.2 二项式系数的性质 课件（共29张PPT）——高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptxVIP

6.3.2二项式系数的性质

人教A版(2019)选择性必修三;

素养目标

1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值，提升

逻辑推理素养(重点);

公式(a+b)=Ca+Cla-b1+…+Ca-*bk+…+Cb”,n∈N*叫做二项式定理，右边

的多项式叫做(a+b)的二项展开式，其中各项的系数C(k=0,1,2,.…,n)叫做二项式系数.

(a+b)”的展开式的二项式系数C,C,C2,L,Ch,L,C,有很多有趣的性质，这节;;

(a+b)111

(a+b)2121

(a+b)31331

(a+b)?14641

(a+b)?→15101051;

1/615201561

在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和;

对于(a+b)的展开式的二项式系数

C,C,C2,L,Ch,L,C

我们还可以从函数的角度分析它们，C可以看成是以

r为自变量的函数f(r),其定义域是

{0,1,2,L,n}

对于确定的n,我们还可以画出它的图象.例如，当n=6

时，函数f(r)=C(r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图象是7个离散点，如图所示.;

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探究思考：观察上图，你可以发现什么规律?;

你能用组合的意义解释Cm=Cn“这个组合等式”吗?

从n个不同元素中取出m个元素，则剩下n-m个元素，故从n个不同元素中取出m个元素的方法数与取出n-m个元素的方法数相等，即;

即,所以，当时，时，Cn随k的增加而增大；

由对称性知，当时，C随k的增加而减小.;

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当n是偶数时，中间的一项

当n是奇数时，中间的两项;

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3.各二项式系数的和(性质3)

已知

(1+x)=C°+C,x+C2x2+L+Cx

令x=1,得

2=C+C+C2+L+C

这就是说，(a+b)的展开式的各二项式系数的和等于2.;

(1+x)=C°+Cx+C2x2+…+Cnx的展开式左边是n个(1+x)相乘，按照取x的个数，可以将乘积中的项分为(n+1)类：

第1类，n个(1+x)都取1,即取0个x,共有C种取法；

第2类，n个(1+x)中，1个取x,其余取1,共有C!种取法；

第3类，n个(1+x)中，2个取x,其余取1,共有C2种取法；

第n+1类，n个(1+x)中全部取x,共有C”种取法.;

分析：奇数项的二项式系数的和为C+C2+C?+L,偶数项的二项式系数的和为

C!+C3+C?+L.由于(a+b)=Ca+C1a?1b+C2a-2b2+L+Cb中的a,b可以取任意实

数，因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和.;

在展开式(a+b)=Ca+C1a-b+C2a-2b2+L+Cb中，

令a=1,b=-1,则得

(1-1)=C-C+C2+L+(-1)C+L+(-1)C

即(C+C2+C+L)-(C!+C3+C+L)=0.

因此C°+C2+C?+L=C+C3+C?+L

即在(a+b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.;

1.(1+x)2(n∈N)的展开式中，系数最大的项是(

A.第项B.第n项

C.第n+1项D.第n项与第n+1项;

解析：在(1+x)2n(n∈N)的展开式中，第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大，故选C.;

2.若(2+ax)(a≠0,n∈N+)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6

项的系数最大，则a的取值范围为(C);

解析：由于二项式(2+ax)(a≠0,n∈N+)的展开式中各项的二项式系数之和为512,所