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先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹
备战2025···············2025-2026·
专题32函数、集合与复数
历年联赛真题汇编
1··2025高中数学联赛B卷（第02试）】设集合ᵃ={1,2,⋯,19}.是否存在集合A的非空子集ᵄ,ᵄ,满足
12
(1)ᵄ∩ᵄ=∅,ᵄ∪ᵄ=ᵃ；
1212
,ᵄ
(2)ᵄ都至少有4个元素;
12
(3)ᵄ
的所有元素的和等于ᵄ的所有元素的乘积?
12
证明你的结论.
【答案】答案见解析
【解析】答案是肯定的.
设ᵄ=1,2,x,y﹐2xy≤19,则1+2+⋯+19−1−2−ᵆ−ᵆ=2ᵆᵆ,
2
所以2xy+x+y=187,
故(2x+1)(2y+1)=375=15×25,
所以x=7,y=12是一组解.
故取ᵄ=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19,ᵄ=1,2,7,12,
12
则这样的ᵄ,ᵄ满足条件.
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2．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之
间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E至少有n个元素，则E一定含有
908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
【答案】2795
【解析】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”先证明一个引理：
|ᵃ|
设G=(V，E)是一个简单图，且G是连通的，则G含有[]个两两无公共边的角(这里[a]表示实数a的整数部分).
2
引理的证明:对E的元素个数E||归纳证明.
当E||=0，1，2，3时，结论显然成立.
下面假设E||≥，4并且结论在E||较小时均成立.
只需证明，在G中可以选取两条边a、b构成一个角，在G中删去a、b这两条边后，剩下的图含有一个连通分
支包含E||－2条边.对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.
考虑G中的最长路ᵄᵆ:ᵆ⋯ᵆ，其中ᵆ,ᵆ,⋯,ᵆ是互不相同的顶点.因为G连通，故k≥3.
12ᵅ12ᵅ
){}
(⩾2.由于P是最长路，v的邻点均在ᵆ,⋯,ᵆᵆ∈ᵃ，其中3≤i≤k.则ᵆᵆ,ᵆᵆ是一个
情形1:degᵆ中，设ᵆ
112ᵅ1ᵅ121ᵅ
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