高一数学：三个二次的关系.docVIP

三个“二次”之间的关系

课时数量

√2课时〔120分钟〕

√

适用的学生水平

?优秀?中等?根底较差

教学目标〔考试要求〕

掌握二次函数的根本性质．

理解一元二次方程实根的分布及其应满足的条件．

掌握一元二次不等式的解法及转化策略．

了解三个“二次”之间的关系，并利用其关系解决实际问题；

渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

教学重点、难点

重点：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相关知识．

难点：三个“二次”之间的关系及相互转化．

建议教学方法

问题点拨自主探究

教学内容

一、知识梳理

提示

三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式．

1.二次函数的根本性质

(1)二次函数的三种表示法：

y＝ax2＋bx＋c；y＝a(x－x1)(x－x2)；y＝a(x－x0)2＋n.

(2)当a＞0，二次函数在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，

令x0＝(p＋q).

假设－＜p，那么＝m，＝M；

假设p≤－＜x0，那么f(－)＝m，＝M；

假设x0≤－＜q，那么＝M，f(－)＝m；

假设－≥q，那么＝M，＝m．

2.二次方程＝ax2＋bx＋c＝0的实根分布及条件

(1)方程＝0的两根中一根比大，另一根比小a·＜0；

提示

哦，这些千万别死记。不记它，但要理解它．把二次函数的图象、对称轴、二次方程的根的几何意义“装”进大脑，不忘了数形结合就够了。

相信你也能准确写出这些不等式。

(2)二次方程＝0的两根都大于

(3)二次方程＝0在区间(p，q)内有两根

(4)二次方程＝0在区间(p，q)内只有一根·＜0，或＝0(检验)或＝0(检验),检验另一根在(p，q)内成立.

(5)方程＝0两根的一根大于p小于q，另一根小于p(p＜q)

.

3.二次不等式转化策略

(1)二次不等式＝ax2＋bx＋c≤0的

解集是(－∞，)∪［，＋∞a＜0且＝＝0；

(2)当a＞0时，＜|＋|＜|＋|，

当a＜0时，＜|＋|＞|＋|；

(3)当a＞0时，二次不等式＞0在［p，q］恒成立

或

(4)＞0恒成立

二、方法归纳

1．数形结合是讨论二次函数问题的根本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．

2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比方讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．

3．关于二次函数对称轴的判定方法：

(1)如果二次函数存在两个不相等的数、，有，那么函数图象的对称轴方程为.

(2)一般函数对定义域内所有，都有成立，那么函 数图象的对称轴方程为，为常数．

(3)一般函数对定义域内所有，都有成立，那么函数图象的对称轴方程为，为常数．

注意：与是等价的．

4．二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．

三、典型例题精讲

［例1］假设不等式(－2)x2＋2(－2)x－4＜0对一切∈R恒成立，那么的取值范围是()

A.(－∞，2 B.－2，2 C.(－2，2 D.(－∞，－2)

解析：当－2＝0，即＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，∴＝2满足．

当－2≠0时，那么满足，解得－2＜＜2，

所以的范围是－2＜≤2.

答案：C

【技巧提示】由题意，函数＝(－2)x2＋2(－2)x－4的图象全部在轴以下，于是

当＝2时，＝－4，满足题意；

当满足时，满足题意．

又例：假设不等式对一切恒成立，求实数的范围.

解析：∵，

∴只须对一切恒成立即可，与例１类似．

?∴的取值范围是．

再例：假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围是〔〕

A.RB.C.D.

解析：将化为，

即，

而恒成立，

∴对恒成立．

即，应选B.

［例2］二次函数的二次项系数为正，且对任意实数，恒有＝，假设＜，那么的取值范围是_________.

解析：由二次函数的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由＝，知＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小．

∴

即

∴－2＜＜0．

答案：－2＜＜0．

【技巧提示】二次函数的图象为开口向上〔下〕的抛物线时，距对称轴近的点的纵坐标较小〔大〕；

［例3］〔1〕二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围．

〔2〕方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．

解析：〔1〕由即，

从而得