中考数学二轮复习 专题10 截长补短模型综合应用（专项训练）(能力提升）（原卷版）.doc

专题10截长补短模型综合应用（专项训练）

(能力提升）

1．综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．

2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），过点D作DF∥AE，交射线BC于点F，作FP⊥BD于点P，连结PA、PE．（1）求证：△ABE≌△DCF；

（2）①判断△APE的形状，并说明理由；

②求的值；

（3）设BE＝x，PD＝y，求y与x的函数关系式．

3．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．

（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝，“旋补中距”CE长度＝；

（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；

（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．

4．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．

（1）如图1，若连接BD，CE，则BD与CE的关系为；

（2）如图2，若连接CD，BE，取BE中点F，连接AF，探究AF与CD的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝3，AC＝，请直接写出线段AE的长．

5．（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．

可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．

6．阅读下面材料：

小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：AD的取值范围是．

参考小军思考问题的方法，解决问题：

如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA?CD＝PC?BD．

7．【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD