中考数学二轮复习 专题12 二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）（解析版）.doc

专题12二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中点．

（1）求该二次函数的解析式．

（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．

（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中点，

∴OA＝8．

∵OA＝OC＝2OB，

∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），

将A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，

得，

解得：．

∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+8．

（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，

∴对称轴为直线x＝2，

令y＝0，

则﹣x2+x+8＝0，

∴x＝﹣4或x＝8，

∴C（8，0），

设直线CD的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+4，

过点E作EH⊥x轴交CD于点H，

设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），

则H（m，﹣m+4），

∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，

∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，

∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，

此时E（3，），

连接BE，交对称轴于点F，连接CF，

∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，

∴BF＝CF，

∴CF+EF＝BF+EF≥BE，

当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，

∴BE＝＝；

（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，

理由如下：

平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，

设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），

∵四边形DMCN为菱形，

∴DC与MN为对角线，

∴，

∵CN＝CM，

∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，

∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，

∴t＝2或x＝﹣2，

∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．

2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；

（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+4；

（2）令y＝0，则x2﹣x+4＝0，

解得x＝3或x＝﹣4，

∴A（3，0），

∵点P到AB，AC距离相等，

∴P点在∠CAB的角平分线上，

设AP与y轴交于点E，过E作EF⊥AC交于F点，

∵OA＝3，CO＝4，

∴AC＝5，

∴CF＝2，

在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，

解得OE＝，

∴E（0，），

设直线AE的解析式为y＝kx+m，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+，

联立方程组，

解得或，

∴P（﹣，）；

（3）存在点Q，使四边形BMNQ为菱形，理由如下；

∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，

设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴，

解得，

∴y＝x+4，

设Q（﹣，t），

∵四边形BMNQ为菱形，

∴M点与Q点关于直线BC对称，

∴M（t﹣4，），

∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，

解得t＝或t＝，

∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），

∴Q点坐标为（﹣，）．

3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，

DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；

（3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+2，

∵E点的横坐标