平面向量基本定理教学设计(北京五中王琦).docx

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平面向量基本定理

北京市第五中学王琦

教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学4》（人教A版）第二章第三节的第一课时（2.3.1）《平面向量基本定理》．平面向量基本定理属于概念性知识．

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本定理是共线向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用．

我认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于如下几个特点：

给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；

通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；

平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；

选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，实现了形与数的统一．

《课标》对本节课的要求是“了解平面向量基本定理及其意义”，我认为这是因为平面向量基本定理理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐标运算上，直接应用极少．

但是，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学思考和数学表述的能力．

平面向量基本定理的验证过程是向量的分解，是两向量进行线性运算的逆过程，是对学生逆向思维的训练．平面向量基本定理证明过程中，需要用到平行向量基本定理，同时，平行向量基本定理也是平面向量基本定理在一维时的特殊情形．这里体现了特殊与一般的辨证观点．

平面向量基本定理将平面内任意向量的问题转化为一组基底的问题，从而使问题简单化、程序化，体现了化归与转化的数学思想．平面向量基本定理将平面向量与有序实数对建立一一对应，搭起了数与形的桥梁，是利用向量进行数形转化的理论基础．

因此，我认为本节课的教学重点是平面向量基本定理的探究和理解．

教学目标设置

根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：

通过观察、猜想、实验验证、逻辑推理，知道平面向量基本定理是如何得来的，理解平面向量基本定理中关键词的含义；

学生经历从提出问题，到观察猜想，再到验证推理，然后概括总结，进而完善发展的数学研究过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力；通过与平行向量基本定理的比较，揭示知识之间的内在联系，提高对知识体系的整体认识．

在概念的发生、发展和深化的过程中，感受数学的思维方式，体验数学的严谨性和概括性，培养主动观察、分析、探索的意识；在平面向量基本定理形成与理解的过程中，体会特殊与一般，对立与统一的辩证观点．

3．区别“无数个”与“任意一个”，从而猜想定理中的“任意”．

预案：

学生认为两个给定的向量可以表示无数个向量而非任意一个，此时可以引导学生思考哪些向量无法表示；

学生容易忽略“平面内”的限定，认为两个给定的向量可以表示任意一个向量，这与此前学生数学学习中对三维空间研究较少有关，难以突破二维空间的思维局限，此时，教师可以给出反例，让学生体会；

学生容易忽略共线的特殊情况，认为同一平面内两个给定向量可以表示该平面内任意一个向量，此时可以追问学生“无论这两个向量如何给定，都可以表示平面内任意一个向量吗？”；

由问题1的讨论，有些学生容易想到当一个向量是零向量时，无法表示平面内任意向量，有些学生会想到当两给定向量共线时，无法表示平面内任意向量，教师需要引导学生认识到“不共线”的限定就排除了含零向量的可能．

活动1请学生表述猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平面内任意一个向量．

设计意图：

由猜想是否成立，引出课题；

猜想得到验证之后，这就是定理文字语言的描述，也是用符号语言进行描述的基础．

(三)操作确认，定理雏形

活动2操作确认，形成定理雏形

环节1教师给定一组不共线向量e1、e2(由向量的可平移性，不妨让这两个向量共起点)，并给出待分解的向量a，请学生到黑板上作图，并说明作图过程及能够用e1、e2的线性运算来表示的原因．

e

e1

a

e2

O

设计意图：

基底给作共起点的情况，使学生更容易想到逆用平行四边形法则进行分解；

由这种情况入手，是因为这种情况与学生物理课上学习过的矢量分解类似，学生比