中考数学二轮复习 专题15 挑战四边形和旋转综合应用压轴（解析版）.doc

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专题15挑战四边形和旋转综合应用压轴

1．（2022?阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．

（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；

（2）直线AE与CF相交于点G．

①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°．

∵DE＝DF，∠EDF＝90°．

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．

∵∠ADP＝90°，

∴∠DAP+∠DPA＝90°．

∵△ADE≌△CDF，

∴∠DAE＝∠DCF．

∵∠DPA＝∠GPC，

∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．

∴∠PGN＝90°，

∵BM⊥AG，BN⊥GN，

∴四边形BMGN是矩形，

∴∠MBN＝90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．

∴∠ABM＝∠CBN．

又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，

∴△AMB≌△CNB．

∴MB＝NB．

∴矩形BMGN是正方形；

②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，

此时△AMB≌△AHD．

∴BM＝AH．

∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，

∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．

∴BM最小值＝AH最小值＝．

由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，

∴BG最小值＝．

2．（2022?南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．

（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；

（2）当AE＝3时，求CF的长；

（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．

【解答】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵FM⊥AC，

∴∠B＝∠AMF＝90°，

∵∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠MAF，

在△ABE和△AMF中，

，

∴△ABE≌△AMF（AAS），

∴AB＝AM；

（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，

∴BE＝＝＝，

∵△ABE≌△AMF，

∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝＝5，

∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，

∵∠CMF＝90°，

∴CF＝＝＝．

当点E在CD上时，可得CF＝．

综上所述，CF的值为或；

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．

∵△ABE≌△AMF，

∴AM＝AB＝4，

∵∠AMF＝90°，

∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，

∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，

∴△CMJ∽△CDA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴MJ＝，CJ＝，

∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，

∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，

∴△CMJ∽△DHJ，

∴＝，

∴＝，

∴DH＝，

∴DF的最小值为．

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，

∴∠DAE＝∠RAF，

∵AE＝AF，AD＝AR，

∴△ADE≌△ARF（SAS），

∴∠ADE＝∠ARF＝90°，

∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，

∵DQ⊥AR，DK⊥RF，

∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，

∴四边形DKRQ是矩形，

∴DK＝QR，

∴AQ＝AD?cos∠BAC＝3×＝，

∵AR＝AD＝3，

∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，

∴DF的最小值为，

∵＜，

∴DF的最小值为．

解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．

证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，

当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．

当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．

3．（2022?通辽）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．

（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；

（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求的值为多少；

（3）AB＝8，AG＝AD