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平行线的判定（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握平行线的画法；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线的画法及平行公理

1.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

2.平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

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要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．下列说法中正确的有()

①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥

b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，

所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，

故选A．

【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字

词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．

举一反三：

【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.

【答案】平行

类型二、平行线的判定

2.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的

条件的序号是().

A．①②B．①③C．①④D．③④

【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．

【答案】A

【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．

②∵∠1＝∠7，又∠7＝∠5，

∴∠1＝∠5，可推出a∥b．

③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．

④∠4＝∠7不能推出a∥b．

【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看

这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．

举一反三：

【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线l∥l的是（）.

12

0

A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180

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【答案】B

【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．

【答案】∵1＝2

∴21＝22，即∠ABC＝∠BCD

∴AB//CD（内错角