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平面向量要点知识汇总

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平面向量

A

A

B

C

D

a

c

a+b+c

b

a+b

b+c

运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ③

向量的坐标表示

平面向量的坐标运算法则

1．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P点的坐标；

解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)

∴∴P点坐标为(-1,-)

2．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则?2=(-3,-3)

1．共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

2．推导：设=(x1,y1)=(x2,y2)其中?

由=λ(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ：x1y2-x2y1=0

结论：∥(?)的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y1,y2有可能为0，∵?

∴x2,y2中至少有一个不为0

2?充要条件不能写成∵x1,x2有可能为0

3、从而向量共线的充要条件有两种形式：∥

(?)

例:若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：∵=(-1,x)与=(-x,2)共线

∴(-1)×2-x?(-x)=0

∴x=±

∵与方向相同∴x=

线段的定比分点

线段的定比分点及λ

P1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，使=λλ叫做点P分所成的比，有三种情况：

P

P1

P1

P1

P2

P2

P2

P

P

P

λ0(内分)(外分)λ0(λ-1)外分)λ0(-1λ0)

2．定比分点公式的获得：

设=λ点P1,P,P2坐标为(x1,y1)(x,y)(x2,y2)由向量的坐标运算=(x-x1,y-y1)=(x2-x1,y2-y1)

解：设B点坐标(x,y)，则=(x,y)，=(x?5,y?2)

∵?∴x(x?5)+y(y?2)=0即：x2+y2?5x?2y=0

又∵||=||∴x2+y2=(x?5)2+(y?2)2即：10x+4y=29

由

∴B点坐标或；=或

例五、在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。

解：当A=90?时，?=0，∴2×1+3×k=0∴k=

当B=90?时，?=0，=?=(1?2,k?3)=(?1,k?3)

∴2×(?1)+3×(k?3)=0∴k=

当C=90?时，?=0，∴?1+k(k?3)=0∴k=

向量的平移

例：将函数y=2x的图象l按a=(0,3)平移到l’，求l’的函数解析式。

PP’aO解：设P(x,y)为l上任一点，它在l’上的对应点为P’(x

P

P’

a

O

由平移公式：

代入y=2x得：y’?3=2x’即：y’=2x’+3

按习惯，将x’、y’写成x、y得l’的解析式：y=2x+3

例：已知抛物线y=x2+4x+7，

求抛物线顶点坐标。

求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。

解：1．设抛物线y=x2+4x+7的顶点O’坐标为(h,k)

则h=?2,k=3∴顶点O’坐标为(?2,3)

2.按题设，这种平移是使点O’(?2,3)移到O(0,0)，

设=(m,n)则

设P(x,y)是抛物线y=x2+4x+7上任一点，对应点P’为(x’,y’)

,则代入y=x2+4x+7

得：y’=x’2即：y=x2

正弦定理

特殊情况：直角三角形中的正弦定理：

sinA=sinB=sinC=1即：

c=c=c=∴==

在任意斜△ABC当中：

S△ABC=

两边同除以即得：==

CCC已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）

C

C

C

aCbba

a

C

b

b

a

bbaaa

b

b

a

a

a

ABBAB1B2AcAB

A

B

B

A

B1

B2

A

c

A

B