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平面向量

章节分析:

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.

向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.

对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.

平面向量的概念、几何运算和基本定理

1.向量的相关概念

2.向量的线性运算

3.向量的共线定理

非零向量与向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使。

延伸结论:三点共线当且仅当有唯一,使

4.平面向量的基本定理

如果是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

练习:（1）已知是平面向量的一组基底,,

①若当且仅当且.②若则.

（2）如图为单位向量，，其中的夹角为，的夹角为。若，求的值。

5.一个常用结论:中,为边的中点,则有:.

练习:设的重心为点,设试用表示.

典型例题分析:

知识点一:基本概念

例1.

1.如果是平面内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有()

①()可以表示平面内的所有向量;平面内的所有向量都可以表示成()。

②对于平面中的任一向量使的,有无数多对;

③若向量与共线,则有且只有一个,

④若实数,使,则.

A.①② B.②③ C.③④ D.②

练习:1)判断下列命题的真假

(1)向量与向量为共线向量,则四点共线.

(2)若则四边形为平行四边形.

(3)若向量,则.

(4)是两个向量,则当且仅当不共线时成立

知识点二:向量的线性运算

例1.化简:

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

(7)

例2.如图,四边形,,分别为,的中点,求证:.

1、已知向量满足条件,且,求证是正三角形.

2、是所在平面上的一点,若,

则是三角形.

3、已知非零向量和满足且,则为.

4、若为所在平面内一点,且满足则的形状为（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

5、已知非零向量与满足且,则△ABC为 （ ）

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

思路分析:

1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D.

2.由于所在直线穿过△ABC的内心,则由知,（等腰三角形的三线合一定理）;又,所以,即△ABC为等边三角形,故选D.

知识点二、三角形的“心”与向量

重心

在△ABC中,AD为BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得.这说明所在的直线过的中点,从而一定通过的重心.另外,为的重心的充要条件是或,（其中为所在平面内任意一点）,这也是两个常用的结论.

例1.已知是平面上不共线的三点,是的外心,动点满足,则的轨迹一定通过的（ ）

A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心

思路分析:取AB边的中点M,则,

由可得

,所以

,即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选D.

垂心

在中,由向量的数量积公式,可得,这说明所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC的垂心.

例:若动点满足,则点P轨迹一定通过的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心

例2.点是所在平面内的一点,满足,则点是的 （ ）

A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三条高的交点,故选D.

练习:点是所在平面内的一点,满足,则点是的（ ）

A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

内心

在中,由两单位向量相加,可得所在直线是∠A的平分线所在的直线,从而一定经过的内心.

例3是平面上定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

思路分析:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为∠BAC的角平分线的方向,又,所以与的方向相同,而,所