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弹性力学-04(习题答案)

习题4-1试导出位移分量的坐标变换式Suv2

习题4-2设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解：轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：对于圆筒轴对称问题，有ur不随?变化，即又由位移单值条件，有常数A、B由应力边界条件确定。应力分量：边界条件：3

4

习题4-3设有刚体，具有半径为b的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒，受内压力q，试求圆筒壁的应力。解：刚体边界条件：代入边界条件，有将常数A、C代入，有5

将常数A、C代入，有刚体6

习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。45°解：xy?rxy?r(a)由图（a）给出的孔边应力结果：得：7

习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。xyOqq解：（1）应力函数?的确定由因次分析法，可知代入相容方程：得到：8

大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流9

（2）应力分量的确定xyOqq由对称性，应为?的偶函数；应为?的奇函数，因而有，（3）由边界条件确定常数边界条件：代入，有：代入应力分量式，有10

xyOqq代入应力分量式，有11

习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。xyOP解：由密切尔（J.H.Michell）解答，得由应力分量的坐标变换式：（4-21）——密切尔（J.H.Michell）解答12

由坐标变换式：13

x材料力学结果：截面弯矩xyOP截面惯性矩截面正应力——弹性力学结果两者结果相差较大。14

习题4-7曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力分量。xyrabOPP解：（1）应力函数的确定分析：任取一截面，截面弯矩为将其代入相容方程：（a）15

上述欧拉方程的解：（b）代入应力函数为（c）（2）应力分量的确定（d）16

边界条件：代入应力分量得：端部条件（右端）：代入剪应力分量得：（f）联立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP（e）自然满足（d）（d）17

其中，代入应力分量式（d），有：（f）xyrabOPP18

习题4-8设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。解：（1）应力分量提示：须要考虑位移单值条件。（2）确定常数r取一半径为r的圆板为隔离体，其上受力如图。由圆板的平衡，得代入应力分量，有19

r代入应力分量，有恒等式（3）由位移单值条件确定常数A20

由物理方程与几何方程：r其中：应力分量：积分得：代入：将ur代入积分得：21

将uru?代入?r?,要使上式对任意的r、?成立，有其中：L为常数。（a）（b）求解式（a），有（c）将式（b）变为：（d）22

（d）求解式（b），有（e）（f）将代入u?,有由位移单值条件，有23

代入应力分量：r得到：24

习题4-9半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：（叠加法）qxyOP证法1:aa25

qxyOPaaxyOaaqPxyOaaqP（叠加法）证法1:分析思路：26

xyOqPqxyP求解步骤：由楔形体在一面受均布压力问题的结果：（4-25）27

xyOqP（由应力分量的坐标变换）——应力分量的直角坐标形式28

xyOaaqPy→y+axyOqP29

xyOaaqP30

xyOaaq0PxyOqPy→y－a31

xyOaaq0P32

q0xyOPaa33

（积分法）证法2:qxyOPyx利用半限平面边界上作用法向集中力P的结果，有：由图中的几何关系，有：（1）将以上关系式代入式（1），有34

qxyOPyx（2）（1）（3）35

qxyOPyx（3）积分上式，有：36

(a)(b)PP37

(c)a38

补充题xyOMP列写图示问题的边界条件39

xyOMP40

试证明：补充题满足极坐标下平衡微分方程（4-1）补充题证明极坐标系下应变协调方程可表示为:轴对称情况下：41

补充题设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解：证明:（4－1）代入极坐标下的平衡微分方程:显然，有:（1）表