哈密顿函数守恒原理课件.pptVIP

哈密頓函數如拉格朗日函數L不包含某個廣義座標q?,即?L/?q?=0,這種廣義座標叫作迴圈座標(可遺座標).於是,拉格朗日方程(5.29)給出即廣義動量守恆如果迴圈座標是系統的整體平移座標,拉格朗日函數不包含整體平移座標,即拉格朗日函數L對於整體平移是不變的,廣義動量守恆原理就歸結為動量守恆原理.若拉格朗日函數不包含整體轉動座標,拉格朗日函數L對於整體轉動不變,拉格朗日函數是各向同性的,則廣義動量守恆原理歸結為角動量守恆原理.在向量力學中,動量守恆原理和角動量守恆原理是以牛頓第三定律為先決條件(內力的向量和為零,內力的力矩和為零),而廣義動量守恆原理則並不以牛頓第三定律先決條件.一、廣義動量守恆原理例1品質為M的光滑大楔子置於光滑的水準桌面上,品質為m的光滑小楔子沿著大楔子的光滑斜邊滑下.求這兩個楔子的加速度.解:大楔子在水準方向運動,小楔子在大楔子斜邊上運動.系統有兩個自由度.取桌面上的固定點O,大楔子質心相對於O點座標記作X.小楔子質心相對於大楔子斜邊底面而沿著斜邊的座標記作q,X和q可作為系統的廣義座標.主動力是兩個楔子所受的重力,大楔子的勢能在運動過程中不起變化,可以不考慮.只要討論小楔子的勢能就夠了.計算動能的時候要注意,小楔子的速度分量不僅僅是沿斜邊的,而目還有隨著大楔子在水準方向運動的速度.於是,拉格朗日方程給出運動方程大楔子的加速度以及小楔子相對於大楔子的加速度為拉格朗日函數L是時間、廣義座標和廣義速度的函數,L的時間變化率在主動力全是保守力的情況下,利用完整系統的拉格朗日方程把?L/?q?改寫,即得這樣二、哈密頓函數守恆原理定義哈密頓函數如拉格朗日函數L不是時間顯函數,哈密頓函數H守恆哈密頓函數是什麼？因為座標變換不顯含時間,所以於是因為這樣,我們得到在座標變換不顯含時間的條件下,動能是廣義速度的二次齊次式,哈密頓函數就是機械能.如果約束是不穩定的或者約束是穩定的,但變換ri＝ri(q,t)顯含時間,廣義速度二次函數T2一次函數T1零次函數T0哈密頓函數,這樣,在變換式顯含時間的條件下,哈密頓函數H並非機械能,只能姑名之為廣義能量.注意:向量力學關於機械能守恆的條件為作用力是保守力.可是,哈密頓函數守恆即機械能守恆卻還要求座標變換式不顯含時間.這兩種根源是否矛盾呢?原來,這兩者並不是一回事.向量力學所說的勢能對應於所有的力,包括主動力和約束力,而拉格朗日函數L和哈密頓函數H中的勢能則只對應廣義力,即只包括主動力,不包括理想約束力.可見這兩種勢能並不相同,機械能守恆的條件當然也就不同了.用拉格朗日方程求解完整系力學問題的一般程式：(a)分析系統所受的約束.如系統確為完整系,就根據系統的自由度選擇恰當的廣義座標.(b)建立各質點的矢徑與廣義座標的變換方程.為方便起見,盡可能使變換方程不顯含時間.如果能直接完成下一步(c),則此步驟可以省略.(c)用廣義座標和廣義速度表示動能,用廣義座標表示廣義力.對於保守系統,寫出廣義座標表示的勢能.最後寫出系統的拉格朗日函數.注意，這裏的動能和勢能一般是指慣性系中的動能和勢能,若使用非慣性系,則應加上與慣性力相應的勢能.它可能不是只依賴於廣義座標和時間,而是和廣義速度有關的廣義勢能.(d)列出拉格朗日方程.(e)利用初始條件解出拉格朗日方程.(f)分析結果.例如，在勻速直線運動的汽車上有一諧振子在光滑水準槽中往返振動.取q軸沿振動方向,原點在諧振子的平衡點.選這汽車為參考系,諧振子的顯然所以H守恆.另一方面，由於動能T是廣義速度的二次單項式，所以H就是機械能．誠然，改取地面為參考系,這也是慣性系.如果諧振子的振動槽平行於汽車行進方向，則v0是汽車的速度.因所以H守恆.但動能T不是廣義速度的二次齊次式，所以H不是機械能．事實上如汽車是勻加速運動,其速度為at,仍以地面為參考系,則這時,所以H不守恆.另一方面,T不是廣義速度二次齊次式,所以H也不是機械能.事實上，例2試按“拉格朗日方式”研究單擺的運動.解:單擺有一個自由度.取角座標作為廣義座標.主動力是重力mg,是保守力.系統的拉格朗日函數拉格朗日方程給出運動方程我們不直接解這個微分方程.考慮到L不顯含時間,哈密頓函數守恆.哈密頓函