小学奥数通用版讲义(全国通用)2-2-3不定方程与不定方程组(学生版+解析).docxVIP

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不定方程与不定方程组

不定方程与不定方程组

教学目标

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

例题精讲

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

求方程2x－3y＝8的整数解

求方程2x＋6y＝9的整数解

求方程4x＋10y＝34的正整数解

求方程3x＋5y＝12的整数解

解不定方程：（其中x,y均为正整数）

模块二、利用余数性质解不定方程

求不定方程的正整数解有多少组？

求方程3x＋5y＝31的整数解

解方程，（其中x、y均为正整数）

模块三、解不定方程组

解方程（其中a、b、c均为正整数）

解不定方程(其中x、y、z均为正整数)

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不定方程与不定方程组

不定方程与不定方程组

教学目标

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

例题精讲

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

求方程2x－3y＝8的整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．

方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，

当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

求方程2x＋6y＝9的整数解

【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答

因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．

说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

求方