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为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

证明五边形内角和的五种方法

证明五边形内角和的五种方法

五边形是一种具有特殊性质的多边形，其内角和是一个有趣的数学问

题。在本文中，我们将介绍五种不同的方法来证明五边形内角和的公

式。

方法一：分割法

首先，我们可以使用分割法来证明五边形内角和的公式。具体步骤如

下：

1.画出一个任意五边形，并在其中选取一个顶点作为起点。

2.从起点开始，依次连接相邻两个顶点，直到回到起点为止。这样就

得到了五个三角形。

3.计算每个三角形的内角和，并将它们相加。由于每个三角形都有一

个共同的顶点，因此它们共享一个外角，而这个外角恰好等于五边形

中未被计算的那个内角。

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

4.将所有三角形的内角和相加，并减去未被计算的那个内角即可得到

五边形内角和的公式。

方法二：定向线段法

第二种方法是使用定向线段法来证明五边形内角和的公式。具体步骤

如下：

1.画出一个任意五边形，并在其中选取一个顶点作为起点。

2.从起点开始，依次连接相邻两个顶点，并在每个线段上标记一个方

向。这样就得到了五个定向线段。

3.从起点开始，依次沿着每个定向线段走一遍，并将每个内角都计算

出来。由于每个内角都被计算了两次，因此需要将它们相加并除以2。

4.将所有内角的和相加即可得到五边形内角和的公式。

方法三：垂线法

第三种方法是使用垂线法来证明五边形内角和的公式。具体步骤如下：

1.画出一个任意五边形，并在其中选取一个顶点作为起点。

老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃

2.从起点开始，依次连接相邻两个顶点，直到回到起点为止。这样就

得到了五个三角形。

3.在每个三角形中，从未与起点相连的那条边上引一条垂线。这样就

得到了五条垂线。

4.计算每条垂线所对应的直角三角形的两个锐角，并将它们相加。由

于每个直角三角形都有一个共同的锐角，因此它们共享一个外角，而

这个外角恰好等于五边形中未被计算的那个内角。

5.将所有直角三角形的锐角和相加，并减去未被计算的那个内角即可

得到五边形内角和的公式。

方法四：平移法

第四种方法是使用平移法来证明五边形内角和的公式。具体步骤如下：

1.画出一个任意五边形，并在其中选取一个顶点作为起点。

2.从起点开始，依次连接相邻两个顶点，直到回到起点为止。这样就

得到了五个三角形。

君子忧道不忧贫。——孔丘

3.将每个三角形沿着与它共享一条边的直线平移，使得它们的底边都

在同一条直线上。这样就得到了一个新的五边形，它与原来的五边形

有相同的内角和。

4.计算新五边形中每个三角形的内角和，并将它们相加即可得到五边

形内角和的公式。

方法五：向量法

第五种方法是使用向量法来证明五边形内角和的公式。具体步骤如下：

1.画出一个任意五边形，并在其中选取一个顶点作为起点。

2.从起点开始，依次连接相邻两个顶点，并将每条线段表示成一个向

量。这样就得到了五个向量。

3.将所有向量相加，得到一个新的向量。这个新向量的方向与五边形

内角和所对应的那个外角所在的直线相同。

4.计算新向量与x轴正方向之间的夹角，并将它转化为弧度制。这个

夹角恰好等于五边形内角和的大小。

总结：

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥