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高考新课标I卷文科数学圈题

题组23点线面的位置关系

一、考法解法

(一)命题特点分析

空间点线面的位置关系是立体几何的核心，其中四个公理及其推论是立体几何理论体系的根底，是空间中确定平面的依据，是空间问题转化为平面问题的依据，是作图的依据，线面的平行和垂直关系是立体几何的主体内容，高考对这局部内容的考查一是以客观题的形式考查对线线、线面、面面位置关系的理解与掌握，难度不大.二是结合几何体的三视图、直观图考查几何体的外表积、体积的计算，三是判断位置关系〔平行、垂直〕和计算角度.

(二)解题方法荟萃

立体几何中常考以下四类问题：(1)三视图及相关的体积、外表积的简单计算．(2)点、直线、平面之间的位置关系．(3)存在型、探究型问题．三视图是考查重点，几乎年年都考，以选择，填空题为主，当然也可能在大题中由三视图复原为直观图后考查定性及定量问题；对平行、垂直关系的证明依然是考查重点；符号语言、图形语言、文字语言的相互转化要引起足够的重视〔尤其在选择填空题〕；有关球的考查降低了要求，不再考球面距离，但球的外表积、体积要熟练掌握.

二、真题剖析

1、〔2015?新课标I卷文科〕如图，四边形为菱形，为与的交点，。

〔Ⅰ〕证明：；

〔Ⅱ〕假设，

三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积。

解析：〔Ⅰ〕∵BE⊥面ABCD，∴BE⊥AC，∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，

∵BE∩BD=B，∴AC⊥面BED，又AE平面AEC，∴平面AEC⊥面BED.

〔Ⅱ〕设AB=a，EB=h，那么Rt△AEB中，，Rt△EBC中，，

又∠ABC=120°，∴，

∵AE⊥EC，∴，

解得，即.

∵EB⊥面ABCD，∴EB为棱锥E－ACD的高，

∴∴a=2，

△AED中，AE=ED=EG=AD=2，作EM⊥AD于M，

∴同理

又

∴

点评：此题考查了面面垂直的判定方法、椎体的体积和外表积等知识.解第一问的关键是掌握面面垂直的判定方法：〔1〕其中一个平面经过了另一个平面的垂线；〔2〕两个平面的法向量互相垂直.第二问可用等积转化的方法处理.

2、〔2014?新课标I卷文科〕如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

〔=1\*ROMANI〕证明：

〔=2\*ROMANII〕假设,

求三棱柱的高.

解析：〔=1\*ROMANI〕连结，那么O为与的交点，因为侧面为菱形，

所以，又平面，故,平面，

由于平面，故.

〔=2\*ROMANII〕作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,

由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.

又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.

因为所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·AD=OD·OA,且，得OH=．

又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.

点评：此题考查了线线、线面的位置关系，证明线线垂直，可以先证明线面垂直.求高的问题，一般情况下可以采用等积转化法进行求解.

3、〔2013?新课标I卷文科〕H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，那么球O的外表积为________．

答案：eq\f(9,2)π

解析：如下图，CD是截面圆的直径．

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)CD))2·π＝π，即CD＝2.

设球O的半径为R，由AH∶HB＝1∶2，

∴AH＝eq\f(1,3)×2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝R－eq\f(2,3)R＝eq\f(1,3)R，

由OD2＝OH2＋HD2得：R2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R2＝eq\f(9,8)

∴S球＝4πR2＝eq\f(9,2)π.

点评：此题以球为载体，主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，属于中档题.

4、〔2012?新课标卷I文科〕如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点.

(I)证明：平面⊥平面；

〔II〕平面分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比.

解析：〔Ⅰ〕由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴.

由题设知,∴=,即,

又∵,∴⊥面,∵面，

∴面⊥面；

〔Ⅱ〕设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，

由三棱柱的体积=1，∴=1:1，

∴平面分此棱柱为两局部体积之比为1:1.

点评：此题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是中档题.

三、高考圈题

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为