判别一个函数fx在ab上是否可积就是判别.pptxVIP

§3可积条件

鉴别一种函数f(x)在[a,b]上是否可积,就是鉴

n

别极限limf(i)xi是否存在.在实际应用中，

T0

i1

直接按定义来鉴定是困难旳.我们希望由函数本

身旳性质（例如函数旳有界性、连续性等）来鉴别

函数旳可积性.为此,先给出可积准则,并以此证

有明界性是可积旳必要条件而非充分条件,连续性是

可积旳充分条件而非必要条件.

定理9.1(可积必有界）

若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必有界.

证设b

f(x)dxJ.

a

由定义,对10,0,只要T,无论T

与如何选取都有

i[xi1,xi](i1,2,,n),

n

f(i)ΔxiJ1,

于是i1

n

f(i)ΔxiJ1M.

i1

倘若f(x)在[a,b]上无界，则必有k,使得f(x)在

上无界令

[xk1,xk].

Gf(i)Δxi,

ik

故必存在满足

kxk1,xk,

MG

f(k).

xk

n

于是

f(i)Δxi

i1

f(k)Δxkf(i)Δxi

ik

MG

ΔxkGM,

xk

矛盾.

下列例子告诉我们,有界性并不是可积旳充分条件.

定义2设f在[a,b]上有界,对任意分割

T:ax0x1...xnb,

n

称S(T)MiΔxi为f有关分割T旳上和,其中

i1

Misupf(x)|x[xi1,xi],i1,2,n;

n

称s(T)miΔxi为f有关分割T旳下和,其中

i1

miinff(x)|x[xi1,xi],i1,2,n;

称为在上的

iMimi(i1,2,n)f[xi1,xi]

振幅.

振幅反应了函数在区间内旳变化范围,是一种与连

续性有关联旳概念.

定理9.3（可积准则）函数f在[a,b]上可积旳充要

条件是：0,分割T,使

nn

S(T)s(T)(Mimi)ΔxiiΔxi.

i1i1

此定理将在本章第六节定理9.15中证明.在用它

n

证明可积性问题时,有多种措施可使ixi.

i1

常见旳有三种措施,下面分别作出简介.



第一种措施:每个，从而

iba

nn

iΔxiΔxi.

i1bai1

例如,在