平行四边形知识点与经典例题-2.docVIP

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平行四边形

基础知识平行四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

等腰梯形

定

义

有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。

两腰相等的梯形是等腰梯形。

性

质

1、对边平行且相等。

2、对角相等，邻角互补。

3、对角线互相平分

1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。

1、两腰相等两底平行

2、同一底上的两角相等

3、两条对角线相等

判

定

1、定义：

2、判定定理：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

1、定义：

2、判定定理：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

1、定义：

2、判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。

1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。

2、先证明是菱形再证一个角是直角。

1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。

2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、对角线相等的梯形是等腰梯形。

对称性

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题

（图1）CAB

（图1）

C

A

B

D

E

F

O

O

A

B

C

D

E

F

（图2）

例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.

例3、已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：∠BEC=∠CFB.

AB

A

B

C

D

图3

E

F

例4、如图6，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

AD

A

D

B

C

E

F

(图6)

M

N

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

例5、如图7的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形.

图7

图7

A

B

C

D

E

F

O

例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

图8

图8

B

C

D

A

E

F

A

A

B

C

D

图9

E

G

O

F

例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

备用图（1）

备用图（1）

备用图（2）

图13

例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.

ABCDMNE(第6题)6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

A

B

C

D

M

N

E

(第6题)

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是一个正方形？并给出证明．

7.如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH的长（2）MN的长。

8.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF吗？证明你的结论。

9.如图，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于点F，

求证：（1）∠BEC＝30°（2）DE＝DF

10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，

PE