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2025年高考数学必考知识点

一、函数。

1.函数的概念与性质。

-定义域、值域的求解。对于分式函数，要注意分母不为零；对于根式函数，根号下的式子要满足非负条件。例如，函数y=(1)/(x-1)的定义域为{xx≠1}，函数y=√(x+2)的定义域为{xx≥-2}。

-函数的单调性。可以通过定义法（设x_1，比较f(x_1)与f(x_2)的大小）或者导数法（对于可导函数y=f(x)，f(x)0时函数单调递增，f(x)0时函数单调递减）来判断。如y=x^2在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

-函数的奇偶性。满足f(-x)=f(x)的函数为偶函数，图象关于y轴对称；满足f(-x)=-f(x)的函数为奇函数，图象关于原点对称。例如y=x^3是奇函数，y=x^2是偶函数。

2.基本初等函数。

-一次函数y=kx+b（k≠0），其图象是一条直线，斜率k决定直线的倾斜程度，截距b是直线与y轴的交点纵坐标。

-二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），图象是抛物线。对称轴为x=-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac-b^2}{4a})。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。

-指数函数y=a^x（a0且a≠1），当a1时，函数在R上单调递增；当0a1时，函数在R上单调递减。

-对数函数y=log_ax（a0且a≠1），其定义域为(0,+∞)。当a1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a1时，函数在(0,+∞)上单调递减。并且y=a^x与y=log_ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。

-幂函数y=x^α（α∈R），当α0时，函数在[0,+∞)上单调递增；当α0时，函数在(0,+∞)上单调递减。例如y=x^2，y=x^(1)/(2)等。

3.函数的图象变换。

-平移变换。y=f(x)的图象向左平移h个单位得到y=f(x+h)的图象（h0）；向右平移h个单位得到y=f(x-h)的图象（h0）；向上平移k个单位得到y=f(x)+k的图象（k0）；向下平移k个单位得到y=f(x)-k的图象（k0）。

-伸缩变换。y=f(x)的图象纵坐标伸长为原来的A倍（A1）得到y=Af(x)的图象；纵坐标缩短为原来的A倍（0A1）得到y=Af(x)的图象。横坐标伸长为原来的(1)/(ω)倍（0ω1）得到y=f(ωx)的图象；横坐标缩短为原来的(1)/(ω)倍（ω1）得到y=f(ωx)的图象。

-对称变换。y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

二、导数。

1.导数的概念与运算。

-导数的定义：函数y=f(x)在x=x_0处的导数f(x_0)=limlimits_Δx→0frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}。

-基本函数的导数公式：(x^n)=nx^n-1，(sinx)=cosx，(cosx)=-sinx，(a^x)=a^xlna，(log_ax)=(1)/(xlna)等。

-导数的四则运算法则：(u±v)=u±v，(uv)=uv+uv，((u)/(v))=(uv-uv)/(v^2)(v≠0)。

2.导数的应用。

-切线问题。函数y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0)。例如，对于函数y=x^2在点(1,1)处，y=2x，f(1)=2，切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1。

-单调性与极值。通过求导判断函数的单调性，令f(x)=0求出驻点，再根据驻点两侧导数的正负判断极值情况。如y=x^3-3x，y=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，当x=-1时函数取得极大值y=2，当x=1时函数取得极小值y=-2。

-最值问题。在闭区间[a,b]上求函数y=f(x)的最值，需要先求出函数在区间内的极值点，再比较极值点与区间端点处的函数值大小。

三、三角函数。

1.三角函数的概念。

-任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}，则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。

-同角三角