微积分中值定理详细.pptVIP

罗尔中值定理

推广

中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式

(第三节)

柯西中值定理

研究函数性质及曲线性态

应用

利用导数解决实际问题

3.1.1罗尔定理

设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相等，即f(a)

=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至小有一点C(ξ,f(ξ))，曲线在

C点有水平切线。

y

C

由上述的讨论，我们可以得到如下定AB

理——罗尔（Rolle）定理。

定理1设函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

oaξbx

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3）f(a)=f(b).

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f()0(ab).

证因f(x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M

和最小值m。

(1)若M=m则f(x)在[a,b]上是常数；

f(x)=M，x∈[a,b]

从而f(x)，0因此，任取ξ∈(a,b)都有f()0

(2)若M≠m，则M,m中至小有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠

M。因此，函数f(x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M。我们来证

。

f()0

由于f(x)在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有

f(x)f()0

当△x0时,

f(x)f()

0

x

f(x)f()

f()lim0

x0x

f(x)f()

同理，当△x0时,0

x

f(x)f()

f()lim0

x0x

因此必然有

f()0

3.1.2拉格朗日中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上的图形是