1.4 角平分线（第1课时） 教学课件 北师大版初中数学八年级（下）.ppt

第一章三角形的证明

1.4角平分线（第1课时）

第一章三角形的证明

1、会证明角平分线的性质定理及逆定理；（重点）

2、会运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关的数学问题.（难点）

你能利用尺规作出角平分线吗?

你还记得角平分线上的点有什么性质吗?

角平分线上的点到这个角的两边距离相等

怎么证明这一结论。

已知:如图,OC是∠AOB的平分线,

P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.

求证:PD=PE.

1.角平分线的性质

你会证明吗？

分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，如何证明两三角形全等呢？

注意:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.

∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)

∴∠PDO=∠PEO=90°

∵∠1=∠2,OP=OP

∴△OPD≌△OPE(AAS)

∴PD=PE

∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,

垂足分别是D,E(已知)

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

几何语言

你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?

逆命题

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

它是真命题吗?

如果是.请你证明它.

2.角平分线的判定

已知:如图所示,

PD=PE,PD⊥OA,

PE⊥OB,垂足分别

是D,E.

求证:点P在∠AOB的平分线上.

分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.

B

A

C

D

E

O

P

证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB

∴△POD和△POE都是直角三角形

∵PD=PE,OP=OP

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)

∴∠POD=∠POE

∴OC是∠AOB的平分线

逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

如图,

∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),

∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).

老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.

例1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

已知:如图,点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.且PD=PE,

求证:OP平分∠AOB.

1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?

你能说出结论并能证明它吗？

2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).

1.角平分线性质定理

2.符号表示

∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E∴PD=PE

3.逆定理

4.符号表示∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),

∴点P在∠AOB的平分线上.

1．角平分线上的点到______________距离相等；

到一个角的两边距离相等的点都在_____________．

这个角的两边

这个角的平分线上

2．如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_________.

30°

3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.

4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

求证:EB=FC.