专题二 不定方程(组) 培优拓展 2024-2025学年浙教版七年级数学下册.docx

专题二不定方程(组)

知识梳理

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能唯一确定。对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定。

二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：

设a、b、c、d为整数，则不定方程ax+by-c有如下两个重要命题：

1.若(a,b)-d,且d|c,则不定方程ax+by-c没有整数解。

2.若x?、y?是方程ax+by-c且(a,b)-1的一组整数解(称特解),则x=x0+bty=y

解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方、利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

【例1】一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是。

【例2】如图1，在某张桌子上放相同的木块，R=62，S=78，则桌子的高度是()。

A.70

B.78

C.16

D.62

【例3】求方程6x+22y=90的非负整数解。

【例4】方程|x-2y-3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是。

【例5】求不定方程组5x

【例6】有面额为1元、2元、5元的人民币若干，要用当中的10张买一价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有()。

A.1种B.2种C.3种D.4种

【例7】某校初一年级的新生男女同学比例为8：7。一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17：15。到初三年时，原校有转学走，又有新转学来的，统计知，净增人数10人，此时，男女同学的比例变为7：6。问：该校在初一年时招收新生中，各招了男女同学多少名?(注：该校初一新生不超过1000人)

【例8】求方程m2-

【例9】《见微知著》谈道：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法。

阅读材料一：

利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等。

例如:ab=1,求证:11+a+

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长。”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征。

阅读材料二：

基本不等式ab≤a+b2

例如：在x0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值

解：∵x0,1x

当且仅当x=1x,即x=1时,.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)已知ab=1,

①11+

(2)若abc=1,解方程

(3)若正数a、b满足ab=1,求M=

【例10】当x≤y≤z

答案

【例1】解：设这个数为x则

x-3=6nx

∴x=6n+3且x=5z-3,

∴5z=6(n+1),

当n=1时,5z

当n=2时,5z

当n=3时,5z

当n=4时,5z=30,z=6符合题意,

故x=4×6+3=27。

故答案为：27。

【例2】解：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，

由题意得：y

由①,得:y-x=62-z,

由②,得:x-y=78-z,

即62-z+78-z=0,

解得z=70,

即桌子的高度是70。

故选:A。

【例3】解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：3x+11y=45①,

由观察知,x?=4,y?=-1是方程3x+11y=1②的一组整数

解，从而方程①的一组整数解为x

由定理，可得方程①的一切整数解为

x=180-11ty=-45+3

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180-11t≥0③,-45+3t≥0④,

由于t是整数,由③,④得15≤t≤16,

所以只有t=15,t=16两种可能,

当t=15时,x=15,y=0;当t=16时,x=4,y=3。

所以原方程的非负整数解是

【例4】解：由题意得，x、y都是整数，

故可得x-2y-3、x+y+1都为整数,

从而可得：(解得x=

circle2{x-

circle3{x-

④x-2

综上可得解得整数解为x=0