专题四 因式分解——添项拆项法 2024-2025学年浙教版七年级数学下册.docx

专题四因式分解——添项拆项法

知识梳理

因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。

【例1】将16x2+1添上一项，使它成为a+

【例2】对于二次三项式x2+2ax+a2,可以直接用公式法分解为(x+a2的形式；但对于二次三项式x2+2ax-3

像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添项法。

请用上述方法把m2

【例3】在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。先阅读，再分解因式：x?+4=x?+4

(1)按照这种方法把多项式x?+4

(2)分解因式：a

【例4】请用两种方法对多项式x3-4x2+6x-

【例5】阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。

例如：分解因式：x

解：原式：=x3-3x2-x2+x+6第1步：拆项法

=x3-3x2

=x2x-3-x+2

=x-3x2-x-2

=x-3x

(1)请你试一试分解因式：x

(2)请你试一试在实数范围内分解因式：x

【例6】王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题。

例：若m2+2mn+2n2-6

解：:

∴m2+2mn+n

∴m+n=0,n-3=0,

∴m=-3,n=3。

为什么要对2n2进行拆项呢?聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题。相信你也能很好地解决下面的两个问题，请写出你的解题过程。

(1)若x2-4xy+5

(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长,且满足a2-10

【例7】添项、拆项分组法因式分解：

1

2

3

答案

【例1】解:若16x2;是平方项，

则16

所以，可添加±8x；

若16x2是乘积二倍项，

则64

所以,可添加64x?,

综上所述，所添加的项为±8x或64x?。

故答案为:±8x或64x?。

【例2】解:m

=

=(m-3)2-1

=(m-3+1)(m-3-1)

=(m-2)(m-4)。

【例3】解:(1)x?+4y?

=

=

=

2

=

=

=

【例4】解：方法一:

=

=

=

方法二：x

=

=

=

【例5】解:1

=

=

=x(x-1)(x+1)-6(x-1)

=

=(x-1)(x+3)(x-2);

2

=

=

【例6】解:1

x

x

则x

∴x-2y=0,y+1=0,

解得,x=-2,y=-1,

∴

2

a

(a-5)2+(b-6)2=0,

∴a-5=0,b-6=0,解得,a=5,b=6,

当5是腰长时,三角形的周长=5+5+6=16,

当6是腰长时,三角形的周长=5+6+6=17,

∴此三角形的周长为16或17。

【例7】解:(①

=

=

②

=

=(a-1)[a(a+1)-8]

=

③

=

=

=

=

=