第七讲 分式方程 2024-2025学年浙教版七年级数学下册.docx

第七讲分式方程

知识梳理

方程包括整式方程和分式方程，整式方程指一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程(八年级下册学习)，分式方程指分母里含有未知数的方程。本讲学习分式方程及其应用，同学们要善于找到它和整式方程的区别，牢固掌握这一中考热点。

1.分式方程及其解法。

(1)分母里含有字母的方程叫作分式方程。

(2)解分式方程：去分母，转化为整式方程，得根，验根。

(3)增根：使得分母等于零的根；在解分式方程时一定要验根，方法是将得到的根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根(增根应舍去)，否则不是；解分式方程最后一定要写出检验过程，这是重中之重。

(4)与增根有关的参数问题(参数指的是另一个“干扰”字母)：将原方程化为整式方程；确定增根；将增根代入所得到的整式方程中，求出参数的值。

2.分式方程的应用：其中的步骤和整式方程的应用题步骤一样，区别在于解出分式方程后，一定要对方程本身和实际问题验根，并且写出检验过程，切记不可忘了这一步。

【例1】解分式方程：5

【变式训练1】解分式方程：x

【变式训练2】解分式方程：1

【例2】若关于x的分式方程x-1x

【变式训练3】若关于x的分式方程xx-1

【变式训练4】若关于x的分式方程k1-x=2-xx

【例3】用换元法解方程：x

【变式训练5】解方程：x

【变式训练6】方程1x2+1

【例4】解关于x的方程xx+2-

【变式训练7】a为何值时，关于x的方程1x-2

【变式训练8】若关于x的方程x+1x2-x

【例5】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车。“复兴号”的速度比原来列车的速度快了40km/h，提速后从北京到上海运行时间缩短了30min。已知从北京到上海全程约1320km，求“复兴号”的速度。设“复兴号”的速度为xkm/h，依题意，可列方程为。

【变式训练9】“绿水青山就是金山银山。”某工程队承接了60万m2的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务。设实际工作时每天绿化的面积为x万m2，则下列方程中正确的是()。

A.60x

C.60×1+25%

【变式训练10】2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾进行分类。小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：

类别月份

5月

12月

厨余垃圾分出量(千克)

660

8400

其他三种垃圾的总量(千克)

x

7

如果厨余垃圾分出率=厨余垃圾分出量×100%(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的生活垃圾总量总量)，且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是()。

B

C.660660+

【例6】近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标：现有甲、乙两个工程队，若甲、乙合作，24天可以完成，需要费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：

(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?

(2)若甲、乙两队单独完成此项工程，从节约资金的角度来讲，应该选择哪个工程队?

【变式训练11】某项工程，甲、乙两队合作6天可以完成。若甲队单独做4天后，剩下的工程由乙队单独做9天才能完成。问：甲、乙两队单独完成这项工程，各需要多少天?

【变式训练12】在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内(含30天)完成。现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队的资质材料可知：若两队合做，24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成。请问：

(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天?

(2)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天(同时施工即为合做)?最低施工费用是多少万元?

【例7】甲、乙两人沿圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向出发，第一次相遇时离点A(弧形距离)80m，第二次相遇时离点B(弧形距离)60m，求圆形跑道的周长。

【变式训练13】甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向起跑。第一次相遇地点P距离A点100m，第二次相遇地点Q距离B点60m，两次相遇的地点在直线AB的同侧且顺序如图2所示