第五讲 因式分解 2024-2025学年浙教版七年级数学下册.docx

第五讲因式分解

知识梳理

多项式的因式分解是中学数学的一个重要知识，是代数恒等变形的基本形式之一。因式分解法方法活、技巧强、应用广。

1.因式分解的步骤及思路：

(1)先看是否有公因式，若有公因式，则先提取公因式。

(2)观察项数，选择方法。一般地：

二项：考虑平方差公式或奇次幂的和、差公式；

三项：完全平方公式或十字相乘法或拆项、添项法；

四项或以上：分组分解法或立方公式或三项完全平方式。

(3)以上方法均感困难，则可考虑用换元法、双十字相乘法、待定系数法、求根法、轮换对称法等来因式分解。

2.因式分解应注意的事项：

要在要求范围内(实数、有理数)分解到不能再分解为止。

3.应掌握的常用公式：

1

2

3

补充几个重要公式：

4

当a+b+c=0时,有a3+

5

6

7

4.掌握常规的分组或添拆项的技巧，并结合常用公式进行因式分解。

【例1】已知a、b、c为三角形的三边，且(a2+b2+

【变式训练1】已知a、b、c为△ABC的三边长,a2+5b2-4ab-2b

【变式训练2】已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+

【例2】若x2+23-mx+25

【变式训练3】已知m、n是正整数，代数式x2+mx+10+n是一个完全平方式，则n的最小值是

【变式训练4】已知二次三项式9x2-m

【例3】求方程2x

【变式训练5】求方程2xy

【变式训练6】求不定方程x2-5

【变式训练7】已知多项式x?+mx+n能分解为x2+px

【变式训练8】因式分解；x

【例5】若a为正整数，则a?-3a2+9

【变式训练9】已知n是正整数，且n?-16n2+100

【变式训练10】已知n是正整数，.且n2+2n-24是质数,

【例6】先阅读下面的解法，然后解答问题。

例：已知多项式3x3-x2+m

解：设3x3-x

令(3x+1)=0,则x=-13

这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题。

(1)若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为(x-2)

(2)若多项式x3+3x2+5x+

(3)若多项式x?+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式(x+1)和

【变式训练11】问题：已知多项式x?+mx3+nx-16含有因式x-1和

解答：设.x?+mx3+nx-

∴取x=1,得1+

∴取x=2,得16+8

由①、②解得m=-5,n=20。

根据以上阅读材料解决下列问题：

(1)若多项式3x3+ax2-2含有因式

(2)若多项式2x2+mxy+lny2-4x+2

(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数。请求出多项式x2?2?+2x1?1?+3

【变式训练12】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题。

已知多项式2x3-x2+m

解法一：设2x3-x

比较系数得2a+1=-1

解法二：设2x3-x

由于上式为恒等式，为方便计算取x=-12

选择恰当的方法解答下列各题：

(1)已知多项式x2+mx-15

(2)已知x?+mx3+nx-16有因式(x-1)和(x-2),

(3)已知x2+2x+1是多项式x3-x

【例7】阅读下面内容并完成后面的练习：

因为x+1x+2

因为x-1x

因为x-1x

因为x+1x-

因为x+ax+b=.,所以

请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解：

1

2

3

【变式训练13】阅读下列材料：

材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足(q=mn且p=m+n

①x2+4x+3=(x+1)(x+3);②x2-4x-12=(x-6)(x+2)。

材料2：因式分解：x

解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式=

再将“A”还原，得：原式=

上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)根据材料1，把x2-6

(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：

①分解因式：x

②分解因式：7m

【变式训练14】观察下列各式。

①4×1×2+1=(1+2)2;②4×2×3+1=(2+3)2;③4×3×4+1=(3+4)2…

(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方?

(2)试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立；

(3)利用前面的规律，将41

【例8】在实数范围内分解因式：-

【变式训练15】在实数范围内分解因式：x

【变式训练16】在实数范围内分解因式：x

【例9】设3x3-x=1,

【变式训练17】已知2a2-3a-

【变式训