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第十二章广义函数及基本解

§12.1广义函数

§12.1.1广义函数的引入

在前面我们定义了古典意义下的傅立叶变换。但有许多在物理学和工程技术中重要的函数不满足前述的傅立叶积分定理的条件，如常数、单位阶跃函数、符号函数、周期函数等，就不满足定理中的绝对可积条件（即不满足条件：）；又如我们下面马上要讲到的函数，它不是普通意义上的函数，而是广义函数中奇异函数中的一种，严格说来，它谈不上在一点的值，所以也就谈不上满足傅立叶积分定理的条件。为了使这些函数也能进行傅立叶变换，须引入广义函数的概念，这样站在一个更一般的角度去考虑问题，人们便发现了适于广义函数的傅立叶变换。本课程不便就一般的、系统的广义函数理论去深入讨论，只作扼要的介绍。

历史上最早出现的广义函数是由物理学家狄拉克（Dirac）为描述集中量的分布密度而引入的函数。以一维的质量分布为例，用表示在区间物体的质量，如果，则质量分布密度为。如果只有一个单位质量集中于坐标原点，则这个函数被称为赫维赛德（Heaviside）函数。如果记分布密度函数为，则容易看出具有如下一些性质：

1.

2.

3.对任意连续函数

4.

在不是类函数,这里的微分符号也只是延用的形式符号。

如果把平移到，则变为，有

函数的引入以及对函数进行形式上的运算，虽然在数学上缺乏严谨，但它却有效地解决了物理上的问题，使统一处理通常的连续型分布和集中量的离散分布成为可能。20世纪中期，数学上正式的广义函数概念和理论的建立，才使函数作为一种广义函数，其定义、性质及运算都建立在严格的数学理论之上。

广义函数是普通函数的一种推广。普通函数是数和数之间的对应，而广义函数作为一种泛函（泛函的一种），是某个函数空间中的函数和数之间的对应。这个函数空间称为基本函数空间。基本函数空间有多种，定义在其上的广义函数也是各式各样的。下面介绍一种常用的基本函数空间，用表示在某一有界区域外为的的函数，在的函数中定义极限关系，是指、在某一有界区域外为，且的各阶导数都一致趋于的相应各阶导数。具有这种极限关系的记为。类似地，可定义基本函数空间，此时为在有界闭集外为的

的函数。

定义1.1.1：基本空间上的线性连续泛函称为广义函数，即对任意，有一个数与之对应，记为或，又称为检验函数。所有上的广义函数全体记为，称为的对偶空间。是线性的，故

。

是连续的，即若，则有

。

对在上的局部可积函数，可定义一个广义函数

，，。

此广义函数称为由函数生成的广义函数，这种广义函数称为正则广义函数。由此可见广义函数是可积函数的一种推广。因此，也把一般的广义函数记作，它在的值记为

，

这里的积分符号只是一个形式符号，不再是原来意义下的积分符号。正则广义函数以外的广义函数称为奇异广义函数。

函数的定义为。可以证明函数为奇异广义函数。

§12.1.2广义函数的运算

1.线性运算

本章定理证明