2025年人教版八年级数学寒假预习 第13讲 正方形的性质与判定（2个知识点+5大考点举一反三+过关测试）.docxVIP

PAGE

PAGE1

第13讲正方形的性质与判定

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1.理解正方形的概念；

2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；

3.通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

知识点1：正方形的概念与性质

1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

2.性质：

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

知识点2：正方形的判定

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）对角线相等的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。

考点一：利用正方形的性质求解

例1.（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，社区有一块面积为500m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得AB=10m，

(1)求正方形空地的边CD的长；

(2)求郁金香的种植面积．

【变式1-1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（????）

A．52 B．5 C．32

【变式1-2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE=AC，连接AE交CD于F．

(1)求∠CAE的度数：

(2)若DF=1，求正方形ABCD的周长．

【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形ABCD中，AB=32，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG

(1)求证：矩形DEFG是正方形．

(2)求AG+AE的值．

考点二：添一个条件使四边形是正方形

例2.（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（???）

A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等

C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直

【变式2-1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（

A．BD=AB B．OA=OB C．AC⊥BD D．OD=AC

【变式2-2】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（????）

A．AC=BD，AC⊥BD

C．BD平分∠ABC，AB=BC

【变式2-3】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（???）

A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AO=CO

考点三：证明四边形是正方形

例3.（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC

(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；

(2)若∠BAC=90°，且AD=3，求四边形AFDE

【变式3-1】（2024·湖南长沙·一模）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO=45°．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)若正方形ABCD的面积为72，BF=4，求菱形AECF的面积．

【变式3-2】（22-23九年级上·山西运城·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点

(1)求证：四边形GECF是正方形；

(2)若AC=4，BC=3，求四边形GECF的周长．

【变式3-3】（23-24九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°