2025年复变函数知识点梳理解读.pdfVIP

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

复变函数知识点梳理解读

复变函数作为数学分析中的一个重要分支，其应用范围非常广

泛。从物理学、工程学到经济学、金融学，复变函数都有着广泛

的应用。本文将围绕复变函数的基本概念、性质、运算、级数展

开论述，并提出一些具体的应用实例。

一、基本概念

1.复数

复数是由实数和虚数构成的一种数，常见形式为a+bi（其中a、

b为实数，i为虚数单位）。复数具有很强的解析性质，因此在物

理学、工程学等领域中有重要的应用。

2.复变函数

复变函数是一种以复数为自变量，输出为复数的函数。复变函

数有着不同于实变函数的特殊性质，因此在数学和其他学科中都

有着广泛的应用。

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

3.复平面

复平面是为了便于对复变函数进行可视化而引入的一个概念。

它是由实部和虚部作为坐标轴的平面。在复平面上，复数a+bi对

应着平面上的一个点(x,y)，其中x为实部，y为虚部。

二、性质

1.连续与可导性

与实函数不同的是，复变函数的连续性与可导性是一对紧密联

系的性质。准确地说，连续、可导、解析是复变函数的递进性质。

一个复变函数在一个区域内解析，则其在该区域内具有无数次可

导性。

2.共轭与模长

复数a+bi的共轭是a-bi，而其模长是sqrt(a^2+b^2)。复变函数

的共轭和模长有着重要作用。实际上，共轭在大量的运算和变换

吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》

中都有着广泛应用。而模长则有着很好的几何意义，这种几何意

义被广泛应用于电磁学、物理学等领域。

三、运算

1.基本运算

对复数进行基本的四则运算与实数相似。不同之处在于，运算

中要特别注意实部与虚部的相互关系。例如，两个复数相加时，

它们的实部相加，虚部相加。而两个复数相乘时，它们的模长相

乘，幅角相加。

2.洛朗展开

洛朗展开是一个复变函数在复平面上展开的一种形式。它将一

个复变函数在原点附近展开成一系列幂函数与幂函数的分数，因

此可应用于数值计算和图形绘制等方面。

四、级数展开

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

1.泰勒级数

泰勒级数是一个复变函数在某个点处展开成一系列幂函数的形

式。它在数学和物理学中都有着广泛应用。通过泰勒级数，可以

将一个复变函数在某个点附近展开成幂级数的形式，进而便于函

数的计算和分析。

2.罗朗级数

罗朗级数是一个复变函数在某个圆环区域内展开成一系列幂函

数与幂函数的分数的形式。罗朗级数与泰勒级数的不同之处在于，

罗朗级数是在一个圆环区域内展开的，而泰勒级数则是在某个点

处展开的。罗朗级数同样应用非常广泛，尤其在电磁学领域中有

着广泛应用。

五、应用实例

1.电容的计算

博观而约取，厚积而薄发。——苏轼

在物理学中，经常需要计算电容的值。如果电容中央的电极是

一个圆柱体，则可以使用泊松方程来计算电容值。这时，泊松方

程可以转化为一个复变函数的求值问题，从而应用复变函数来计

算电容。