第四讲 整式的乘除 2024-2025学年浙教版七年级数学下册.docx

第四讲整式的乘除

知识梳理

指数运算律是整式乘除的基础，有以下四个：a??a?=a???,a??=a?,ab

1.运算律成立的条件；

2.运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；

3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

2.确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。

【例1】已知x+1?=ax?+bx?+cx3+dx2+ex+f,

(1)a+b+c+d+e+f;(2)b+c+d+e;(3)a+c+e。

【变式训练1】设2x+13=a?x3+a?x2+a?x+a?,这是关于x的一个恒等式(即对于任意x都成立)，则a?+a?

【变式训练2】把(x2-x-1?展开得a2nx

【例2】已知25x=2000,80y=2000,则1x+1

【变式训练3】已知30x=2010,67y=2010,则2

【变式训练4】已知6x=192,32y=192,则(-6???1????1??2

【例3】已知a=22??,b=33??,c=5533则a、b、c的大小关系是()。

A.abcB.bacC.cabD.cba

【变式训练5】设a=33?,b=2?1,c=42?,按照从大到小的顺序排列为。

【变式训练6】比较a=2??,b=32?、

【例4】已知实数a、b、x、y满足(ax-by=3,ay+bx=8,则a2+b2x2+y2

【变式训练7】已知实数a、b、x、y满足(ax+by=3,ay-bx=5,求a2+b2x2+y2

【变式训练8】已知a、b、x、y满足a+b=x+y=3,ax+by=7,求:

(1)ay+bx;

【例5】我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：

①把被除式、除式按某个字母做降幂排列，并把所缺的项用零补齐；

②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；

③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项；

④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。

例如：计算6x?-7x3-x2-1÷2x+1,

所以，6x?-7x3-x2-1除以2x+1,商式为3x3-5x2+2x-1,余式为0。

根据阅读材料，请回答下列问题(直接填空)：

1

2x2+2x+4

3x3+ax2+bx-2能被x2+2x+22整除,则a=,b=

【变式训练9】根据阅读材料，请回答下列问题：

1x3-4x2+7x-5

2x3-x2+ax+b能被.x2+2x+2整除，求a、b

【变式训练10】根据阅读材料，请回答下列问题：

(2)(4x2-4xy+y2+6x-3y--10)÷(2x-y+5)=;

3x-2

4x3+ax2+bx-15能被x2-2x+3整除,则a=,b=.

【例6】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。例如，图①可以得到a+b2=a2+2ab+b2

(1)写出图②中所表示的数学等式；

(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；

(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2

(4)小明同学用图③中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形,则x+y+z

【变式训练11】(1)请用两种不同的方法列代数式表示图①中阴影部分的面积。

方法①:;

方法②:。

(2)根据(1)写出一个等式:;

(3)若x+y=8,xy=3.75,利用(2)中的结论,求x、y的值;

(4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示。

如图②，它表示了2m+nm+n=2m2+3mn+n2

【变式训练12】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题。

例如:若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值。

解:∵a+b=3,ab=1,∴a+b

根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)若(9-x)(x-6)=1,求(9-x2+

(2)如图4，C是线段AB上的一点以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和为16,求△AFC的面积。

【例7】观察下列各式：

x-1

x-1

x-1

1x-1xn-1+xn-2

(3)计算:3

【变式训练13】“杨辉三角”揭示了(a+b)(n为非负数)展开