三精考点之高中数学（复习）最基础考点系列：考点10 对数函数的图象及应用 含解析.docVIP

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专题10对数函数的图象及应用

对数函数的图象及应用

★★★

○○○○

1．对数函数的图象

函数

y＝logax，a1

y＝logax,0a1

图象

图象特征

在y轴右侧，过定点(1,0)

当x逐渐增大时，图象是上升的

当x逐渐增大时，图象是下降的

2.底数的大小决定了图象相对位置的高低

不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0cd1ab.

3．指数函数与对数函数的关系

指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

对数函数的性质

函数

y＝logax(a0，且a≠1)

a1

0a1

性质

定义域

(0，＋∞)

值域

R

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

函数值变化规律

当x＝1时，y＝0

当x1时，y0；当0x1时，y0

当x1时，y0；当0x1时，y0

研究对数型函数图象的思路

研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a1或0a1这两种不同情况．

比较对数式大小的三种方法

(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．

(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．

简单对数不等式问题的求解策略

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．

(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

(2017·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()

A．x1x20 B．x1x2＝1

C．x1x21 D．0x1x21

[解析]构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，

则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2－1，－1x10，

则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，

因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，

因为10x2－10x10，

所以lg(x1x2)0，

即0x1x21.

[答案]D

1.已知a＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，b＝logeq\f(1,3)eq\f(1,2)，c＝log2eq\f(1,3)，则()

A．abc B．bca

C．cba D．bac

[解析]∵a＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)1,0b＝logeq\f(1,3)eq\f(1,2)＝log321，c＝log2eq\f(1,3)＝－log230，∴abc.

[答案]A

2.已知不等式logx(2x2＋1)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是________．

3.函数f(x)＝loga(ax－3)(a0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()

A．(1，＋∞) B．(0,1)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．(3，＋∞)

[解析]由于a0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－30，即a3.

[答案]D

1．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()

A．x2x3x1 B．x1x3x2

C．x1x2x3 D．x3x2x1

解析：选A分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2x3x1.

2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax(a0且a≠1)的图象可能是()

3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()

A．a1，c1

B．a1,0c1

C．0a1，c1

D．0a1,0c1

解析：选D由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个