微分中值定理经典题型.ppt

洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理Fermat定理分析:设欲证:使只要证亦即证明作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.证明反证法,由第1题!若将第1题改为:求证存在使在上满足罗尔定理条件,设辅助函数使得2.设证明：连续，显然在因此至少存在可导，且即在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证明第2题的特殊情况:n=2!证明不妨设设证明对任意有3.4.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且试证必存在分析:所给条件可写为想到找一点c,使证明:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在证明:6.试证至少存在一点因此存在则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使使法1令7试证至少存在一点使添加标题证:添加标题法2用柯西中值定理.添加标题则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,添加标题令添加标题因此添加标题即添加标题分析:添加标题8.且试证存在证明:欲证因f(x)在[a,b]上满足L-中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证举例证例1两式相减,01则有02例2证明:两式相减,得令h→0,两边取极限,利用f〃(a)的连续性得有关中值问题的解题方法小结利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,多半用Taylor和lagrange公式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.第2章导数应用-习题课(2)课堂练习举例主要内容单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘.导数的应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线.2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:证明不等式;研究方程实根等.1.可导函数单调性判别添加标题在I上严格单调递增添加标题在I上单调递减添加标题在I上严格单调递减添加标题在I上单调递增2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值3.在[a,b]上连续的函数f(x)的最大（小）值求法求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)凸（凹）函数的定义4.连续曲线凹凸与拐点（2）凸函数的判定判定法则101判定法则202判定法则303