河北大学信号与线性系统分析第四章(一).pptVIP

第四章

傅立叶变换和系统的频域分析;本章提要;傅立叶分析和频域分析;本章从傅立叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号频谱的概念。

通过典型信号频谱以及傅立叶变换性质的研究，初步掌握傅立叶分析方法的应用。

对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅立叶级数，也可以利用傅立叶变换，傅立叶级数相当于傅立叶变换的一种特殊表达形式。

本章还将研究抽样信号的傅立叶变换，引入抽样定理。;本章初步介绍傅立叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制和抽样。

系统函数H(jω)及傅立叶变换分析法；

无失真传输条件；

理想低通滤波器模型；

系统的物理可实现条件；

调制／解调的原理与实现；

带通系统的运用；

抽样信号的传输与恢复；;变换域分析——选取完备的正交函数集来最正确逼近信号f(t)，或者说，信号f(t)用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。

采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅立叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。;4.1信号分解为正交函数;例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz;二、信号正交与正交函数集;3.完备正交函数集：;三、信号的正交分解;为使上式最小;代入，得最小均方误差〔推导过程见教材〕;例;将右图方波信号f(t)在上述的正交函数集{sint，cost}上分解。;4.2傅立叶级数;;在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和疑心的处境下,傅立叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅立叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展???为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅立叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中根本上包括了他的数学思想和数学成就。;书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅立叶级数和傅立叶积分，这个名称一直沿用至今。傅立叶在书中断言：“任意”函数〔实际上要满足一定的条件,例如分段单调〕都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。

傅立叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了根本的求解方法-傅立叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的开展，特别是数学物理等应用数学的开展；其次，傅立叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。

傅立叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用开展数学的一种代表性的观点。;傅立叶的两个最主要的奉献——;周期信号与傅立叶级数;在一个周期内只有有限个间断点;

在一个周期内有有限个极值点；

在一个周期内函数绝对可积，即

周期函数只有满足这个条件才能展成傅立叶级数,一般周期信号都满足这些条件.;一、傅立叶级数的三角形式;式中，A0=a0;二、波形的对称性与谐波特性;2.f(t)为奇函数——对称于原点;实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两局部，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)

所以;3.偶谐函数：，那么只含偶次谐波。;三、傅立叶级数的指数形式;上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，?–n=–?n，

那么上式写为;n=0,±1,±2，…;注意：;指数型和三角型傅立叶级数系数之间的关系;例：试将图示周期矩形脉冲信号