湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）.docxVIP

数学

时量：120分钟满分：150分

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）

1．已知，若集合，，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（

）

A． B．菱形的两条对角线相等

C． D．一次函数的图象是直线

3．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（

）

A． B．

C． D．

4．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（

）

A． B．

C． D．

5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）

A． B． C．或 D．

6．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（）

A．1 B． C．2 D．

7．17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（

）

真数

2

3

4

5

6

7

8

9

10

（近似值）

0.30103

0.47712

0.60206

0.69897

0.77815

0.84510

0.90309

0.95424

1.000

A． B． C． D．

8．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（

）

A． B．

C． D．

二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9．已知，且，函数与的图象可能是（

）

A．B．C． D．

10．已知函数，则（

）

A．的定义域为

B．在定义域内单调递减

C．的最大值为

D．的图象关于直线对称

11．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为（

）

A．1 B． C．2 D．3

三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12．若函数是幂函数，且满足，则的值为.

13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是小时.

14．已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为.（用区间表示）

四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15．（1）计算；

（2）若，求的值.

16．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求的取值范围.

17．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求的值；

(2)判断函数在上的单调性并加以证明；

(3)解不等式.

18．已知函数，.

(1)若，求函数在区间上的值域；

(2)若，求证：，并求的值；

(3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.

19．我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.

已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作.

(1)设数列，请写出的所有可能的结果；

(2)求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次；

(3)设数列，求的可能结果，并说明理由.

1．A

【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，

若，则或，不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

2．D

【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，

对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，

对于C,是存在量词命题,故C错误，

对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，

故选：D

3．C

【详解】∵，，

∴且.

故选：C.

4．B

【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

若函数在上单调递增，则，解得，

若函数在上单调递减，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：B.

5．B

【详解】不等式的解集为，