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47平面向量向量的数量积与投影基础

目录CONTENTS向量基本概念与性质数量积定义及性质投影概念及计算方法数量积与投影关系剖析典型例题解析与技巧指导课程小结与拓展延伸

01向量基本概念与性质

向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。向量可以用小写字母加箭头表示，如$vec{a}$，也可以用起点和终点字母表示，如$vec{AB}$。向量定义及表示方法向量表示方法向量定义

123向量减法向量加法向量数乘向量线性运算规则向量加法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{a}+vec{b}=vec{c}$，其中$vec{c}$是以$vec{a}$和$vec{b}$为邻边的平行四边形的对角线向量。向量减法满足三角形法则，即$vec{a}-vec{b}=vec{c}$，其中$vec{c}$是以$vec{b}$和$vec{a}$为邻边的三角形的第三边向量。向量数乘满足数乘运算法则，即$kvec{a}=vec{b}$，其中$k$是实数，$vec{a}$和$vec{b}$是共线的向量，且$|vec{b}|=|k||vec{a}|$。

向量共线条件若两向量$vec{a}$和$vec{b}$共线，则存在实数$k$使得$vec{a}=kvec{b}$或$vec{b}=kvec{a}$。向量垂直条件若两向量$vec{a}$和$vec{b}$垂直，则它们的数量积为零，即$vec{a}cdotvec{b}=0$。向量共线与垂直条件

向量模长定义向量的模长是指向量的长度，用$|vec{a}|$表示。向量模长计算公式对于二维向量$vec{a}=(x,y)$，其模长计算公式为$|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2}$；对于三维向量$vec{a}=(x,y,z)$，其模长计算公式为$|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2}$。向量模长计算公式

02数量积定义及性质

数量积定义计算公式数量积定义及计算公式$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。两个向量$vec{a}$和$vec{b}$的数量积（也称为点积）是一个标量，记作$vec{a}cdotvec{b}$，其值等于$vec{a}$的模长与$vec{b}$在$vec{a}$方向上的投影的模长的乘积。

数量积性质探讨交换律$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$。分配律$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$。结合律$k(vec{a}cdotvec{b})=(kvec{a})cdotvec{b}=vec{a}cdot(kvec{b})$，其中$k$是标量。零向量与任何向量的数量积为零$vec{0}cdotvec{a}=0$。

当$theta=0^circ$时，$costheta=1$，此时$vec{a}$和$vec{b}$同向，数量积最大，为$|vec{a}|times|vec{b}|$。当$theta=90^circ$时，$costheta=0$，此时$vec{a}$和$vec{b}$正交，数量积为零。当$theta=180^circ$时，$costheta=-1$，此时$vec{a}$和$vec{b}$反向，数量积最小，为$-|vec{a}|times|vec{b}|$。数量积与角度关系分析

判断两向量是否垂直若$vec{a}cdotvec{b}=0$，则$vec{a}$与$vec{b}$垂直。计算向量的模长$|vec{a}|=sqrt{vec{a}cdotvec{a}}$。计算向量的夹角$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|times|vec{b}|}$。判断向量的方向关系通过比较数量积的正负来判断向量间的方向关系。数量积应用举例

03投影概念及计算方法

向量a在向量b上的投影是一个向量，其方向与向量b相同，大小等于向量a与向量b的数量积除以向量b的模。投影定义投影反映了向量a在向量b方向上的“分量”，即向量a在向量b所在直线上的“影子”。几何意义投影定义及几何意义

Proj_ba=(a·b/|b|^2)*b投影计算公式根据投影的定义和数量积的性质，可以推导出上述公式。公式推导投影计算公式推导

Proj_b