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根与系数的关系及其应用

如果一元二次方程的两个根为，那么，.这就是根与系数的关系，也称为韦达定理.下面归纳它在中考解题中的几种典型应用.

一、直接利用根与系数关系

例1.（1）不解方程求下列方程的两根之和与两根之积

（2）若，b=.

二、已知方程的一个根，求另一个根及参数的值

例2已知关于的方程的一个根为2，则，另一根是．

方法技巧：一元二次方程已知方程一根求另一根的问题可以利用回代法将已知根代入原方程，求得a的值，再将a的值代入方程，通过解方程求出另一个根.但这种解法没有用根与系数的关系求解简便.

三、求与两根有关的代数式的值

例3（1）若，.

已知a,b是的根，则.

已知的两根为，求的值.

方法技巧：解这类问题的关键是将式子化成含的形式.

常见的公式变形有：①;②③等.

四、求方程中参数的取值

例4（1）若关于的方程的两实根满足=4，则的值为.

若的两不等实根满足，求的值.

(3)已知关于x的方程的两根为，且满足求a的值.

方法技巧：利用根与系数关系确定方程中字母系数取值时，要先根据方程根的情况利用或确定字母的取值范围，再利用已知条件进行取舍.

五、探究字母系数的存在性

例5关于x的方程有两个不相等的实数根.

（1）求k的取值范围;

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

练习：已知有两实根

①求m的取值范围

②是否存在m的值使得，若存在求出m的值，若不存在说明理由。

方法技巧：探究是否存在实数k使方程有实数根，应先假设这个实数k存在，根据所给的条件计算k的值，然后代回原方程或用判别式进行检验.