微积分-旋转体体积.ppt

◆定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（演示）定积分的元素法（演示）应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx和积分区间[a,b]。一般地：若所量U与变量的变化区间[a,b]有关，且关于[a,b]具有可加性，在[a,b]中的任意一个小区间[x,x+dx]上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式这种方法叫做定积分的元素法。dU=f(x)dx称为所求量U的元素。直角坐标系下的平面图形的面积（演示）由x=a，x=b,y=0及y=f(x)所围成的平面图形的面积为由x=a，x=b,y=f(x)及y=g(x)所围平面图形的面积为由y=c，y=d,x=0及x=φ(y)所围平面图形的面积为◆平面图形的面积例题选举例1计算由及所围成的图形的面积。例2计算由曲线和所围成的图形的面积。例3计算由和所围成的图形的面积。例4求椭圆的面积。解练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴（3）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）一般地：如右图中的阴影部分的面积为练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或法一：以y作积分变量法二：以x作积分变量（7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。好例4求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线解由图形的对称性可得ab◆旋转体的体积旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（演示）。可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。◆旋转体的体积计算公式aby=f(x)dcx=g(y)1、旋转轴为x轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（ab,f(x)0)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（cd,g(y)0)所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为y轴（演示）◆旋转体的体积计算公式oxyP(h,r)例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解如图所示任取，形成区间体积元素为直线OP的方程为所求体积为返回例3计算由曲线y=x2与x=y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积。解如图所示V2V1◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周绕x轴旋转一周第四节微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系变上限积分的求导公式定积分的换元法第五节广义积分**