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《高数Ⅱ》教案

CATALOGUE

目录

课程介绍与教学目标

教学内容与方法

微分学部分

积分学部分

无穷级数部分

空间解析几何部分

常微分方程部分

总结回顾与拓展延伸

01

课程介绍与教学目标

《高数Ⅱ》是大学数学的一门重要课程，主要涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等内容，是理工科学生必修的一门数学课程。

通过本课程的学习，学生可以掌握数学分析的基本方法，培养数学思维和解决问题的能力，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。

03

素质目标

提高学生的数学素养和综合素质，培养学生的自主学习和终身学习能力。

01

知识目标

掌握微积分、线性代数、常微分方程等基本概念、基本理论和基本方法。

02

能力目标

能够运用所学知识解决实际问题，培养数学思维和创新能力。

《高等数学》（第二版），同济大学数学系编，高等教育出版社。

教材

《微积分学教程》（第三卷），菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社；《线性代数及其应用》，LayD.C.著，机械工业出版社；《常微分方程教程》，丁同仁、李承治编，高等教育出版社。

参考书目

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教学内容与方法

多元函数的极值与最值

二重积分的概念与性质

第二章：重积分

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第一类曲线积分与曲面积分

第二类曲线积分与曲面积分

格林公式与高斯公式

任意项级数的审敛法

幂级数与泰勒级数

讲授法

讨论法

案例分析法

多媒体辅助教学法

通过教师对知识点的详细讲解，使学生掌握基本概念和理论。

结合具体案例，分析并解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

鼓励学生提出问题和疑惑，通过课堂讨论或小组讨论的形式，加深学生对知识点的理解。

利用多媒体课件、数学软件等辅助教学手段，提高教学效果和学生的学习兴趣。

重点

多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分的基本概念、理论和计算方法。

难点

多元函数的极值与最值、格林公式与高斯公式的应用、无穷级数的审敛法与求和等。针对这些难点，将通过增加例题和习题的讲解与练习，帮助学生更好地理解和掌握相关知识点。

03

微分学部分

导数的定义与几何意义

通过极限思想引入导数的概念，阐述导数描述的函数局部变化率，以及其在几何上表示曲线在某点的切线斜率。

微分的定义与几何意义

介绍微分的概念，阐述微分描述的函数局部变化量的线性部分，以及其在几何上表示曲线在某点的切线段。

导数与微分的关系

通过公式推导，揭示导数与微分之间的内在联系，即函数的微分等于其导数与自变量的增量的乘积。

基本初等函数的导数公式

列出常见的基本初等函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

导数的四则运算法则

介绍导数的加减、乘除运算法则，以及复合函数的链式法则，为复杂函数的导数计算提供方法。

高阶导数

阐述高阶导数的概念及计算方法，通过举例加深对高阶导数的理解。

导数在实际问题中的应用

通过举例，如速度、加速度、边际分析等，展示导数在实际问题中的应用。

介绍罗尔定理的内容及几何意义，通过构造函数并利用零点存在性定理证明罗尔定理。

罗尔定理

阐述拉格朗日中值定理的内容及几何意义，通过构造辅助函数并利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理

介绍柯西中值定理的内容及几何意义，通过构造参数方程形式的辅助函数并利用罗尔定理证明柯西中值定理。

柯西中值定理

通过举例，如证明不等式、求极限等，展示中值定理在解决实际问题中的应用。

中值定理的应用

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积分学部分

凑微分法

通过凑微分，将不定积分转化为基本积分公式中的形式，从而求出原函数。

换元法

通过变量代换，将不定积分转化为更容易计算的形式。常见的换元法有三角代换、根式代换等。

分部积分法

将不定积分转化为两个函数的乘积的积分，通过分部计算简化计算过程。

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无穷级数部分

比较判别法

利用级数相邻两项之比的极限值来判断级数收敛性。

比值判别法

根值判别法

积分判别法

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将级数转化为函数，利用函数的可积性判断级数收敛性。

通过比较级数与已知收敛或发散的级数，判断其收敛性。

通过求级数各项的n次方根的极限值来判断级数收敛性。

通过泰勒公式或麦克劳林公式将函数展开为幂级数形式。

幂级数展开

根据幂级数的性质，通过比较系数或求极限等方法判断其收敛域。

收敛域判断

掌握幂级数的加减乘除运算规则，以及幂级数与多项式、三角函数的运算。

幂级数的运算

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空间解析几何部分

1

2

3

包括向量的模、方向、线性运算（加法、数乘）等。

向量的基本概念和性质

通过向量的坐标表示法进行向量的加、减、数乘运算。

向量的坐标表示法

掌握数量积和向量积的定义、性质及计算方法，理解它们在几何和物理中的应用。

向量的数量积和向量积

平面的点法式方程和一般式方程

01

掌握平面方程的点法式和一般式的互化，理解平面