课改52高一数学985班总结春季第五讲.pdf

数列求和方法

一、分组求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可

分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两

步：①找通项公式②由通项公式确定如何分组.

1、拆项求和

有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组，将分开的两个或多个式子相

加的情况。拆项求和之后，可直接利用等差数列和等比数列的求和公式来求解。

2、倒序相加

{}

如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可

用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方

法称为倒序相加法。特征：1+=2+−1=⋯

3、分奇偶项求和

有些数列奇数项和偶数项分别都可以构成一个新的数列，此时可以分奇偶项

分别求和，但是此时一定要注意数列求和时，一定要分项数的奇偶。若项数为

+1−1

奇数时，则数列中有个奇数项，有个偶数项。当项数为偶数时，则数列中

22

有个奇数项，个偶数项。

22

4、记住常见数列的前项和：

①1+2+3+⋯+=(+1),

2

②1+3+5+⋯+(2−1)=2,

③2+4+6+⋯+2=2+,

④12+22+32+⋯+2=1(+1)(2+1),

6

3333(+1)2

⑤1+2+3+⋯+=[].

2

二、裂项相消

若数列的通项可拆成结构相同的两式之差，则数列的前项和可由裂项相消

法求解，使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的

项有前后对称的特点，裂项相消法的指导思想很明确，关键是实现=−−1，

因此对代数变形能力要求较高，但只要把握了指导思想，这类问题便不难解决，

此外，掌握一些常用的裂项技巧也能事半功倍。

常见的拆项公式有：

①(1)=1−1,(1)=1(1−1),(1)=1(1−1),

+1+1+22+2++

②1=1(1−1),

(2−1)(2+1)22−12+1

1111

=[−],

()

(+1)(+2)2+1(+1)(+2)

(2)2111

=1+[−],

(2−1)(2+1)22−12+1

211

=−,

(2−1)(2+1−1)2−12+1−1

222

=−,

(+1)(+2)+1+2

+111