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2024年10月10日初中数学作业

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．如图，PQ、GH是平面内两条平行线，直线AB与这两条平行线分别交于A

(1)如图1，点N是直线GH上一点，点M是这两条平行线之间一点，连接MA、MN

(2)如图2，在（1）的条件下，若直线AB恰好平分∠MAQ，且∠MNG的角平分线所在的直线交直线A

(3)如图3，若直线CD分别交直线PQ、GH于C、D两点（异于A、B两点），且∠PCD=α°，∠ABG=β°（0

【答案】(1)证明见解析

(2)∠

(3)90

【难度】0.4

【分析】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角相等，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

（1）过点M作MC∥PQ，根据平行于同一条直线的两直线平行可得MC

（2）根据角平分线的定义可得∠NAB=∠BAQ=12180°

（3）过点E作EF∥PQ，根据平行于同一条直线的两直线平行可得EF∥GH，根据角平分线的定义可得∠Q

【详解】（1）证明：如图：过点M作MC∥P

∵MC∥P

∴∠PAM

∴∠P

则∠M

（2）解：如图：

∵直线AB平分∠MAQ，直线

∴∠NAB

则∠B

∵MC

∴∠Q

即∠ABN

则∠PAM

∵∠M

∴180°

即∠A

∵∠A

∴∠A

（3）解：如图：过点E作EF∥P

∵∠P

∴∠Q

∵CE平分∠QCD，

∴∠QCE

则∠P

∵EF∥P

∴∠PCE

则∠C

故答案为：90°

2．在△ABC中，∠BAC=

(1)如图1，求证：△B

(2)如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，在AC上截取

(3)如图3，若∠BAC外角的平分线AE交

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

(3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD

【难度】0.4

【分析】（1）先根据三角形内角和得：∠ABC=70

（2）由（1）证的条件还有已知条件可以证明△ABE≌△AH

（3）通过已知条件，推出线段关系，即∠AFC

【详解】（1）证明：在△ABC

∴∠A

∵BD平分∠

∴∠D

∴∠D

即BD

∴△B

（2）证明：由（1）得：△B

∴BD

∴BD

∵AE平分∠

∴∠E

又∵AB

∴△A

∴BE

∴∠H

∴EH

∴AB

∴B

（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD

如图3，在BE上截取BF=

∵∠A

∴∠

∴∠B

∵∠H

∵AE平分∠

∴∠E

∴∠E

∴AF

∵∠A

∴AF

∴BE

∴B

【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定方法和等腰三角形的定义及性质，解题关键是掌握等腰三角形的定义和性质运用，根据“等边对等角”计算角度．

3．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，与BC的延长线交于点F，∠CBA﹣∠D＝12∠BAD，且AB＝AE，AB与DC的延长线交于点G

（1）如图1，求证：AF＝AG；

（2）如图2，连接AC，求证：∠DAC＝3∠CAB；

（3）如图3，过点E作EH⊥AB于点H，若BF＝2ED，△ABF的面积为28，EH＝4，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7

【难度】0.4

【分析】（1）由AE平分∠BAD，得∠EAG＝∠EAD＝12∠BAD；由∠CBA-∠D＝12∠BAD，得∠CBA＝12∠BAD+∠D＝∠EAD+∠D＝∠AEC，通过证明△ABF≌△AEG，即可得到AF

（2）由△ABF≌△AEG，得∠G＝∠F；由AG＝AF，得BG＝EF，通过证明△BGC≌△EFC，得BC＝EC，再通过证名△ABC≌△AEC，得∠CAB＝∠CAE＝∠EAG；结合∠EAG＝∠EAD，通过计算即可完成证明；

（3）过点A作AN⊥GD于点N，过点E作EK⊥AD于点K；由△ABF≌△AEG，得BF＝EG，S△ABF＝S△AEG；根据BF＝2ED，得EG＝2ED；根据S△AEG＝12EG?AN，S△AED＝12ED?AN，得S△AEG：S△AED＝EG：ED＝2：1，从而得出S△AED＝12S△AEG＝12

【详解】（1）如图1，

∵AE平分∠BAD，

∴∠EAG＝∠EAD＝12∠BAD

∵∠CBA﹣∠D＝12∠BAD

∴∠CBA＝12∠BAD+∠D＝∠EAD+∠D＝∠AEC，即

在△ABF和△AEG中

∠A

∴△ABF≌△AEG（ASA），

∴AF＝AG；

（2）证明：如图2，

∵△ABF≌△AEG，

∴∠G＝∠F，

∵AG＝AF，AB＝AE

∴AG﹣A