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空间几何体

【课时目标】熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算．

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．

2．空间几何体的表面积和体积公式．

名称

几何体

表面积

体积

柱体

(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝________

锥体

(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝________

台体

(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝_________

____________

球

S＝________

V＝eq\f(4,3)πR3

一、选择题

1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是()

A．eq\f(1,π)SB．πSC．2πSD．4πS

2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．1D．2

3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()

4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()

A．280B．292C．360

5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()

A．eq\f(a3,3)B．eq\f(a3,4)C．eq\f(a3,6)D．eq\f(a3,12)

6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是eq\f(32π,3)，则这个三棱柱的体积是()

A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)

二、填空题

7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．

9．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，

直角三角形的直角边长分别为1和eq\r(2)，三棱柱的高为eq\r(2)，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．]

3．C[当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为eq\f(1,2)，高为1的圆柱，体积为eq\f(π,4)；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为eq\f(1,2)；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的eq\f(1,4)，且体积为eq\f(π,4)．]

4．C[由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．

∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360．]

5．C[连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为eq\f(\r(2),2)a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为eq\f(a,2)，则八面体的体积为V＝2×eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2)a)2·eq\f(a,2)＝eq\f(a3,6)．]

6．D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，得R＝2．

∴正三棱柱的高h＝4．

设其底面边长为a，

则eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3)．

∴V＝eq\f(\r(3),4)(4eq\r(3))2·4＝48eq\r(3)．]

7．eq\f(10,3)

解析该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为

V＝1×1×2＋eq\f(1,3)×22×1＝eq\f(10,3)．

8．144

解析此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝eq\f(1,3)(82＋42＋eq\r(82×42))×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．

9．4

解析设球的半径为rcm，则πr2×8＋eq\f(4,3)πr3×3

＝πr2×6r．解得r＝4．

10．解(1)如图所示．

(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥

＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b