函数的极值与最大（小）值（函数的极值）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

选择必修第五章一元函数的导数及其应用5.3导数的在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大（小）值1.函数的极值

教学目标学习目标数学素养1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数极值与导数的关系．1.几何直观素养和数学抽象素养.2.掌握函数在某一点取取得极值的必要条件与充分条件．2.数学抽象素养和逻辑思维素养.3.掌握函数极值的判定及求法．3.数学运算素养和逻辑思维素养.

温故知新函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减；在某个区间(a,b)上,如果f(x)=0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内为常函数.如果f(x)在(a,b)内为增函数，则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

知新探究观察图(1),我们发现,t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律?单调递增单调递减h′(a)=0ta,h′(t)0ta,h(t)0放大t=a附近的图象,如图⑵所示.Otabh图⑴

知新探究由图可以看出,h′(a)=0;在t=a的左右附近,单调递增单调递减h′(a)=0ta,h′(t)0ta,h(t)0放大t=a附近的图象,如图⑵所示.Otabh图⑴当ta时，函数h(t)单调递增，h′(t)0;当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0.这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)=0.对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?

知新探究以x=a,b两点为例，如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？

知新探究函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.

知新探究f′(a)=0f′(b)=0

知新探究在x=a附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0在x=b附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0

知新探究我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

知新探究思考：函数的极大值一定大于极小值吗？⑴极值反映了函数在某一点附近的大小情况刻画了函数的局部性质;⑵一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；⑶函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；⑷函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；⑸单调函数一定没有极值.

知新探究?解：令f′(x)=0，解得x=-2,或x=2?∴f′(x)＝x2-4=(x+2)(x-2),当x=-1变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示．?x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增.单调递减-单调递减??xyO-22

知新探究即函数f(x)=x3是增函数，所以0不是函数f(x)=x3的极值点(如图).导数为0的点不一定是函数的极值点.例如：函数f(x)=x3，f′(x)=3x2.虽然f′(0)=0，但无论x0，还是x0，恒有f′(x)0.若f′(x0)=0，但x0不一定是极值点．f′(x0)=0．若x0是函数f(x)的极值点，x0左右两侧导数异号.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?xyOy＝x3f′(x0)=0是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.

知新探究若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且在点x=b附近的左侧f′(x)0(单增),右侧f′(x)0(单减),f′(b)=0,我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)