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2023-2024学年高三第一学期第三次模拟考试

数学（理科）

一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1.已知集合，，则集合的元素个数为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.

【详解】∵，

∴，即集合的元素个数为3.

故选：C.

2.已知，则的虚部是（）

A.2 B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算以及复数虚部的概念即可解出．

【详解】因为，所以，，所以其虚部是2．

故选：A．

3.若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（）

A B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用双曲线的性质计算即可.

【详解】由题意可知，即，

令.

故选：D

4.设满足约束条件，则的最小值是（）

A.4 B.5

C.8 D.9

【答案】A

【解析】

【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析，当经过A点时，z取最小值得解．

【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC，

由题得y=-2x+z，当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小．

联立得A(1，2)，

所以的最小值是2×1+2=4．

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，规范作图是解题关键，属于基础题

5.已知是第一象限角，满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】以为整体，先求，再利用诱导公式结合倍角公式运算求解.

【详解】因为是第一象限，则为第一象限角或第二象限角，

且，所以，

由题意可得：.

故选：B.

6.已知是直线，是两个相互垂直的平面，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】分别判断充分性和必要性得到答案

【详解】若，，则或或与相交，故推不出，；

若，，则或者，故推不出，

所以当时，“”是“”的既不充分也不必要条件，

故选：D

7.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数与方差的定义判断．

【详解】因为，因此平均数不变，即，

设其他48个数据依次为，

因此，

，

，∴，

故选：D．

8.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）

A.18种 B.24种 C.30种 D.36种

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.

【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；

当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，

有种站法，

所以一共有种不同的站法．

故选：C

9.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，确定外接圆圆心，确定在三棱锥的体积最大时外接球球心与、的位置关系，再由勾股定理求出半径，即可得体积.

【详解】∵，，则是等腰直角三角形，

∴为所在截面圆的直径，

取的中点D，则为外接圆圆心，

设三棱锥外接球的球心为，

则平面，

底面的面积为定值，

∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时，棱锥的最大高度为，棱锥的体积最大，

则三棱锥的体积，解得，

设外接球的半径为，则，，

在中，，

在中，，

由勾股定理得：，解得．

∴外接球的体积．

故选：C．

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）

声源

与声源的距离/m

声压级/dB

燃油汽车

10

60-90

混合动力汽车

10

50-60

电动汽车

10

40

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，分别计算，的范围以及的值，进行运算比较即可求解.

【详解】由题意得，，所以，

，所以，

，故C