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北京力学会第24届学术年会

基于广义有限差分法求解二维非稳态热传导方程

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徐艳洁雷钧谷岩

1

（北京工业大学机电学院工程力学所100024）

2

（青岛大学数学与统计学院266071）

摘要本文针对二维非稳态热传导问题，采用一种新型无网格法——广义有限差分法（GFDM）进

行数值研究。GFDM算法基于Taylor级数展开与加权最小二乘理论将原偏微分方程转化为代数方

程求解，不需网格划分，无数值积分，编程简单。本文对控制方程的空间域和时间域分别采用

Crank-Nicholson方法和GFDM算法进行离散，通过对典型瞬态热传导问题的数值模拟，验证了

该方法的准确性和有效性。

关键词：二维非稳态；热传导；广义有限差分法；温度场

一、引言

近年来温度场的计算在现代工业中的应用十分广泛，例如陶瓷器件烧结过程中温度场的

数值模拟及仿真；锅炉燃烧温度场的监视；甚至包括弹道导弹弹头表面的温度场分布，都涉

及到温度场的计算问题。因此，对温度场进行深入性的研究十分重要。传统数值计算方法如

有限差分法（FDM）、边界元法(BEM)和有限元法(FEM)都非常有效的模拟了这类问题。近年

来学者们开发了更具有发展性的无网格法，广义有限差分法是无网格法之一，其采用泰勒级

数展开式推导，主要应用到数学领域上。最近几年里，Fan等开始将广义有限差分法应用到

工程问题上，与实际结果相一致[1,2]。本文采用广义有限差分法这种新型无网格法对二维非

稳态热传导问题进行求解。通过与解析解结果进行对比，验证广义有限差分法处理二维非稳

态热传导问题的可行性。

二、非稳态热传导问题的广义有限差分法

考虑如下二维常物性无内热源热传导方程的初边值问题：

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T(x,y,t)T(x,y,t)T(x,y,t)

c22(x,y)t(0,T](1)

txy

T(x,y,0)(x,y)(x,y)(2)

T(x,y,t)0(x,y)t(0,T)(3)

对于时间域选取t1/M（其中M为正整数）时间步长进行均匀离散，对方程（1）

中的时间微分项采用Crank-Nicholson格式差商近似，在每一个时间步tn内进而采用GFDM

算法进行空间离散，从而求得tn+1时刻求解域的温度场分布。

根据广义有限差分法（GFDM），对空间域域内可任意布点，对每个布点，选取q个邻近

点形成子区域（如图1所示）。基于泰勒级数展开和最小二乘理论，将每一个点位上的空间

微分项转换成子区域内各点的函数值与其权重乘积的线性累加。进而通过满足控制方程和相

应的边界条件，构造一个稀疏的线性代数方程组。可见，GFDM只需在边界与计算域内部布

点，在执行过程中无需划分网格及数值积分，编程简便高效。

26报告人简介：1993.10.，力学，研究生：xuyanjie@emails.bjut.edu.cn

基金项目：国家自然科技基金项目

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