《有限元法基础讲义》课件.pptVIP

*****************什么是有限元法11.近似方法将复杂结构离散为许多小单元，每个单元由节点和形状函数定义。22.数值解法通过求解每个单元上的偏微分方程，获得整个结构的近似解。33.应用广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域，解决复杂工程问题。有限元法的发展历程1早期发展1940年代，应力分析与结构力学。2计算机发展1950年代，计算机技术推动了有限元方法的发展。3应用扩展1960年代，应用于航空航天等领域。4现代发展1970年代至今，应用范围不断扩大，包括土木工程、机械、生物、材料等。有限元法发展历程与计算机技术进步息息相关。早期应用于结构力学，随着计算机技术发展，应用范围不断扩展。有限元法的基本原理将连续体离散化将复杂的连续体结构分解成许多简单的小单元，例如三角形、四边形或三维的四面体。每个单元可以用简单的数学函数来描述，例如多项式函数。单元组装与求解将所有单元的方程连接起来，形成一个整体的方程组，并通过计算机求解。求解得到每个单元的解，并将这些解组合起来，得到整个结构的近似解。偏微分方程的弱形式经典解经典解要求解函数及其导数在整个定义域内连续。弱形式弱形式允许解函数及其导数具有有限个间断点，并且要求解函数满足一定的积分条件。有限元法有限元法利用弱形式将偏微分方程转化为一个线性代数问题，从而求解。变分原理与Ritz方法能量最小化原理提供了一个解决问题的框架。利用能量最小化原理求解边界值问题。将解空间映射到一个有限维空间，寻找近似解。元素与单元元素有限元法将连续的物理问题划分为离散的单元，每个单元可以看作是问题的基本组成部分。单元单元是有限元中进行计算的最小单元，每个单元由节点和边构成，通过形状函数插值节点值来近似表示单元内场变量的分布。形状函数形状函数是用来描述单元内场变量分布的函数，它与单元的几何形状和节点位置有关。形状函数插值函数形状函数用于插值节点上的值，在单元内构建连续解。多项式形式形状函数通常由多项式组成，满足边界条件和连续性要求。单元类型不同的单元类型对应不同的形状函数，例如三角形单元、四边形单元等。离散化与刚度矩阵网格划分将连续的物理域划分成有限个单元，这些单元连接在一起形成网格，网格的节点表示单元的连接点。单元插值函数使用插值函数来逼近单元内部的未知解，将连续的解函数近似为单元节点处的值。刚度矩阵构建通过单元插值函数和材料性质，构建每个单元的刚度矩阵，将单元的贡献累加起来得到整体刚度矩阵。方程组求解将边界条件应用于整体刚度矩阵，形成方程组，通过数值方法求解方程组，得到节点处的解。边界条件的处理固定边界条件将节点的位移值设为零，表示该节点被固定，无法移动。弹性边界条件在节点上施加弹性力或力矩，模拟弹簧或其他柔性连接。载荷边界条件在节点上施加外部力或压力，模拟物体受到的外部载荷。热边界条件在节点上施加温度值，模拟热传导或对流边界条件。求解与后处理1后处理结果可视化2求解线性方程组3组装刚度矩阵有限元法求解通常涉及组装刚度矩阵、求解线性方程组和对结果进行后处理等步骤。后处理包括结果可视化、误差分析和数据分析等，帮助用户理解和解释计算结果。一维弹性问题的有限元解问题类型有限元解法杆件受力杆件离散化轴向拉伸节点位移弯曲变形应力和应变二维弹性问题的有限元解二维弹性问题是指物体在平面内受力的变形问题。有限元法可以用来求解这类问题，例如梁的弯曲、薄板的变形等。在二维弹性问题中，将物体划分成二维三角形或四边形单元。每个单元的节点位置和变形量由节点的位移和旋转来确定。有限元法通过构建单元的刚度矩阵和质量矩阵，并考虑边界条件，最终求解出节点的位移和旋转，从而得到物体的整体变形和应力分布。三维弹性问题的有限元解三维弹性问题是指在三维空间中对弹性体的形变和应力进行分析。有限元法是解决这类问题的重要工具。三维有限元分析需要建立三维模型并进行网格划分，将连续体划分为多个有限元。每个有限元都有其对应的形状函数和节点，通过求解每个有限元的刚度矩阵和节点位移，最终得到整个结构的应力分布和形变情况。热传导问题的有限元解有限元方法可以用于求解热传导问题。通过对热传导方程进行离散化，将连续的热传导区域划分为多个有限元。每个有限元都有其自身的形状函数和材料属性。通过对有限元进行组装，可以得到全局刚度矩阵和节点载荷向量。解方程组可以得到每个节点的温度值。流体力学问题的有限元解应用范围流体动力学传热质量传递关键点流体流动温度分布物质扩散示例管道流动热交换器污染物