2025年沪科版八年级数学寒假预习 第04讲 一元二次方程的解法.docxVIP

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第04讲一元二次方程的解法

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；

知识点1开平方法

（1）形如??或??的一元二次方程可采用直接\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank开平方法解一元二次方程

（2）如果方程化成??的形式，那么可得??

（3）如果方程能化成??的形式，那么??，进而得出方程的根。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank一元一次方程；

③方法是根据\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank平方根的意义开平方。

知识点2配方法

将一元二次方程配成??的形式，再利用直接开平方法求解的方法??。

1.用\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无解。

2.配方法的理论依据是\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank完全平方公式：?

3.配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

知识点3公式法

1.用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式??，确定??的值（注意符号）；

②求出\t/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank判别式??的值，判断根的情况；

③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把??的值代入公式

?进行计算，求出方程的根。

知识点4因式分解法

1.定义：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；

③令每个因式分别为零

④括号中?，它们的解就都是原方程的解。

考点01：直接开平方法解一元二次方程

例题1．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：

【变式1-1】方程的解是．

【变式1-2】方程的解是．

【变式1-3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若方程有整数根，则m的值可以是．（填一个可能的值）

考点02：配方法解一元二次方程

例题2.解方程：．

【变式2-1】解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（???）

A．13 B．9 C．5 D．4

【变式2-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（???）

A．0 B．3 C．6 D．9

【变式2-3】用配方法解方程：．

考点03：配方法的应用

例题3.若（，为实数），则．

【变式3-1】二次三项式的最小值是．

【变式3-2】求证：无论m为何值，关于x的方程是一元二次方程．

【变式3-3】选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：．

(1)对进行配方，）；

(2)已知，求的值．

考点04：公式法解一元二次方程

例题4.一元二次方程的根为．

【变式4-1】已知关于m的方程，那么．

【变式4-2】若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为．

【变式4-3】已知（），则式子的值是．

考点05：因式分解法解一元二次方程

例题5．（24-25九年级