2025年实变函数试题及答案 .pdfVIP

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

实变函数试题及答案

【篇一：实变函数测试题10-参考答案】

···············2025202505········

11??

a??1?,1?,n?1,2,3,?,分别求?a?的上极限与下极限。1、设n??n

nn??

解：limak?{x存在无限多个ak，使x?ak}???1,1?

x??

limak?{x当k充分大，总有x?ak}???1,1?

x??

2、试证明下面三个陈述等价（1）p0是e的聚点。

（2）p0的任意领域内，至少含有一个属于e而异于p0的点。（3）

存在中互异的点所成的点列?pn?，使得pn?p0(n??)。

证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）

推出（3）.

由假定在u(p0,1)中至少有一点p1属于e而异于p0，令

?1?mind{p0(?

1

1213

),则在}u(p0,?1)中至少有一点p2属于e而异于p0，令，

?2?min{d(p2,p0),，则在u(p0,?2)中又至少有一点p3属于e而异

于p0，这样

继续下去，便得到点列{pn}，它显然满足要求，证毕.

3、设s1,s2,?,sn是一些互不相交的可测集合，ei?si,i?1,2,?,n,求

证

m*(e1?e2???en)?m*e1?m*e2???m*en。

证：因为s1,s2,???,sn互不相交，且ei?si,i?1,2,???,n,所以

e1,e2,???,en也不相

n

n

i

i

n

n

i

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

交。令t?

所以

?e，易知t?s

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?ei,t?(?si)?

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)?

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(t?si)?

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ei.

4、证明有理数集是可测集。

证：令e为r中的有理数全体，则e为可数集。设e?{r1,r2,?,rn,?}，

则对

????

???0，令ii??ri?i?1,ri?i?1?

22??

，则ii?

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2

饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》

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故me?inf

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即m*e?0。

下证e可测。

对任意t，t?(e?t)?(t?ee)，所以m*t?m*(e?t)?m*(t?ee)。

e?t,m*(t?e)?m*t，又(e?t)?e，所以m*(e?t)?m*e?0