湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联考数学试卷.docx

湖北省部分市州2025年元月高三期末联考

数学试卷

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知命题，命题，则命题是命题的（）

A充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知单位向量满足，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

3.若复数是纯虚数，则的值可以为（）

A. B. C. D.

4.若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（）

3

4

5

6

7

A. B. C. D.

5.函数在处的切线与直线垂直，则（）

A. B. C. D.

6.已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（）

A. B.1 C. D.2

7.正方体棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

8.已知对恒成立，则的最小值为（）

A.4 B.6 C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法中正确的是（）

A.回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点

B.用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好

C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大

D.基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过

10.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（）

A. B.

C. D.点坐标为

11.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（）

A.若，则该直线族的包络曲线为圆

B.若，则该直线族的包络曲线为椭圆

C.当时，点可能在直线族上

D.当时，曲线是直线族的包络曲线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.等比数列的前项和为，且，则______．

13.若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______．

14.已知，若不等式恒成立，则的最大值为______．

四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知的内角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求的周长．16.已知函数．

（1）时，求的极值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

17.如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．

（1）证明：；

（2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．

18.已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．

（ⅰ）证明：直线过定点；

（ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式．

19.某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为．（1）若，求和；

（2）若价值最大产品是第件（），求；

（3）当趋向于无穷大时，从理论角度（即），求的最大值及取最大