2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（解析版）.pdfVIP

专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理（Vivianistheorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

2

模型1.等边三角形中维维尼亚模型2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型7

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模型1.等边三角形中维维尼亚模型

条件：在等边VABC中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。

结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PFAM；

②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PFAM。

（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1图2

证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴ABBCAC，

1111

则SSSSABPDBCPFACPEBCPDPFPE，

ABCABPBCPACP

2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE+PFAM。

ABCABPBCPACP

2

②如图3，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴ABBCCA，

则1111，

SSSSABPDACPEBCPFBCPDPEPF

ABCABPACPBCP

2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE-PFAM。

ABCABPBCPACP

2

例．（河北二模）如图，为边长为的等边三角形内任意一点，连接、、，过点

12024··P2ABCPAPBPCP

分别作、、边的垂线，垂足分别为、、，则等于（）

BCACABDEFPD+PE+PF

3

．．．．

AB3