Ch4习题课下 课件(共45张PPT) 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）.pptVIP

(C)不相关的充分必要条件.(D)独立的充分必要条件.分析两个随机变量不相关的充要条件是它们的相关系数为零,而后者只是两个随机变量立的必要条件.解因为故选项(C)正确.所以X和Y不相关的充分必要条件是即讲评注意随机变量X和Y的独立性仅是的充分条件.扩展事实上,分析本题涉及知识点很多,包括期望、方差和相关系数及独立性等.例4.18已知随机变量且X与Y的相关系数设(1)求和(2)求X与Z的相关系数(3)问X与Z是否相互独立?为什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X与Z不相关,因Z不一定服从正态分布,(X,Z)更不一定服从正态分布,X与Z不一定相互独立.讲评性质,如“相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布”,“二维正态随机变量不相关和独立是等价的”等.这些结果可以简化问题的计算.正态随机变量具有一些非常好的扩展.9.有关数字特征的证明问题分析事实上就是一个以C为参数的二次函数.证由于本题可扩展为考虑随机变量X和的独立性如何依赖X与Y的相关系数在例4.19设X是随机变量,C是常数,证明处取得最小值函数≥取得最小值等号仅当时成立,所以在处讲评意义,即方差是函数本题从另一个侧面揭示了方差的在处取最小值.扩展本问题可扩展为考虑二元函数的极值问题.分析本题涉及随机变量的方差的性质.证由于所以从而有例4.20证明:对于任意两个随机变量X和Y,则有若扩展关系式即X和Y不相关.例4.21对于任意二事件A,B,讲评与数学期望不同,随机变量的方差不是线性的.只有当随机变量X和Y独立或不相关时才有称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B相互独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质证明≤1.分析这里定义了随机事件的相关系数,并讨论了它的某些性质.证(1)由的定义可知即二事件A和B独立.因此是A和B独立的充分必要条件.(2)考虑随机变量由条件知,X,Y都服从0-1分布本题考查了0-1分布的数字特征的计算.考查学生的应变能力.随机事件的指示函数的作用.于是.这样,可知随机事件A和B的相关系数就等于随机变量X和Y的相关系数.因此≤1.讲评.借助于形如这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙地转化为关于随机变量的讨论.这种方法值得重视.可以扩充到两个随机事件的指示函数讨论问题.扩展例4.22设A,B是二随机事件,随机变量试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是随机事件A和B相互独立.分析本问题涉及随机变量的相关性和随机事件的独性.证记由数学期望的定义有注意到XY的可能取值为-1,1,又因此从而由此可见即故X和Y不相关的充要条件是A和B相关独立.讲评扩展关系是一个非常重要的问题,在以往研究生考试中曾多次涉及,参见第三节历年考研真题详解.随机变量的独立性和不相关性的概念和随机事件独立的概念.切记,相互独立的随机变量一定是不相关的,但反之不然.本题考查了随机变量的不相关的10.应用题例4.23假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里机器无故障企业可获利10万元;机器发生一次故障企业仍可获利润5万元;机器发生二次故障企业所获利润0元;机器发生三次或者三次以上故障企业就亏损2万元,求一周内企业期望利润是多少?分析