点集拓扑第五章.pptVIP

点集拓扑学;第五章可数公理;本章教学根本要求;§5.1第一与第二可数性公理;二.可数公理的相关定理;这也就是说可以表示为中某些成员之并.这证明了是的一个基．

定理5.1.2每一个度量空间都满足第一可数性公理．

证明设是一个度量空间，,那么:

所有以为中心以有理数为半径的球形邻域构成

处的一个可数邻域基．;定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．

证明设是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基．对于每一个，

是点处的一个邻域基，它是的一个子族所以是可数族．于是在点处有可数邻域基．

定理的逆命题不成立．因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理．;定理5.1.4设和是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射．如果满足第二可数性公理〔第一可数性公理〕，那么也满足第二可数性公理〔第一可数性公理〕

证明设满足第二可数性公理，是它的可数基,由于是一个开映射，

是由中开集构成的一个可数族．

只需证明是的一个基．设是中的一个开集,那么是中的一个开集．;因此存在,

由于是一个满射，我们有

即是中某些元素的并,这完成是基的证明.定理5.1.5满足第二可数性公理〔满足第一可数性公理〕的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理〔满足第一可数性公理〕的空间．

证明设是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基．如果是的一个子集，根据定理,集族是子空间的一个基.;定理5.1.6设,,,是个满足第二可数性公理〔第一可数性公理〕的空间．那么积空间满足第二可数性公理〔第一可数性公理)

证明:设,都是满足第二可数性公理的空间,

,分别是它们的可数基．根据定理

是积空间的一个基它明显是一个可数族．

维欧氏空间的每一个子空间都满足第二可数性公理．;定理5.1.8设是一个拓扑空间．如果在处有一个可数邻域基，那么在点处有一个可数邻域基使得对于任何,有:

证明设是点可数邻域基,

对于每一个,令

可见便是点处的满足要求的可数邻域基

推论设是一个拓扑空间．如果在处有一个可数邻域基，那么在点处有一个可数邻域基使得当,有:;设是一个满足第一可数性公理的空间，,那么点是集合的一个凝聚点的充分必要条件是在集合中有一个序列收敛于.

证明必要性设是集合的一个凝聚点，

设是点处的一个可数邻域基套，满足条件：对于每一个有

由于,可选取

序列显然在中,

我们证明如下:;如果是的一个邻域，那么由于是处的一个邻域基套，所以存在,使得,所以,

，

设和是两个拓扑空间，其中满足第一可数性公理；．那么映射

在点处连续的充分必要条件是：如果中的序列收敛于，那么中的序列收敛于．

如果映射在中的每一个点都连续,那么称是一个连续映射;§5.2可分空间;那么根据映射和的连续性可知

，都是的邻域，从而

也是的一个邻域．由于子集是稠密的，

所以

对于任意一个,我们有，

得出:矛盾.;定义5.2.2设是一个拓扑空间．如果中有一个可数稠密子集，那么称是